Вправильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. через сторону основания и среднюю линию противолежащей боковой грани проведена плоскость. а)докажите, что сечением пирамиды этой плоскостью является равнобедренная трапеция. б)найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Дано:                                                                                                             решение: sabcd - правильная ab = bc = bs = 1                              δscd и δsab - равносторонние sm = mc; sk = kb                          cd = ab и cm = kb; => dm⊥sc и ak⊥sb                   следовательно: ak = md доказать:   ak = md                      и трапеция akmd - равнобедренная  найти:   cos α                                            построим sf⊥bc. так как δbsc - равносторонний, то bf = fc = 0,5 тогда:                       sf = √(sc²-fc²) = √0,75 = √3/2               и  nf = sf/2 = √3/4 sx - высота пирамиды. в δsxf:   ∠sxf = 90°; xf = 0,5; sf = √3/2 тогда:               sx = √(sf²-fx²) = √(0,75-0,5) = √0,25 = 0,5 и δsxf - равнобедренный, т.е. sx = xf = 0,5  и ∠sfx = 45° в трапеции akmd находим np = mp':     так как km = bc/2 по условию, то mn = bc/4 = 0,25   так как dm⊥sc и см = 0,5; dc = 1, то: dm = √(1-0,25) = √3/2   тогда:           np = mp' = √(dm²-(pd-mn)²) = √(3/4 - (0,5-0,25)²) =√(11/16) = √11/4 в  δnpf:   np = √11/4; nf = √3/4; pf = 1 по теореме косинусов:                                                                       nf² = np² + pf² - 2*np*pf*cosα                                                                       3/16 = 11/16 + 1 - 2√11/4 * 1 * cosα                                                                       √11/2 * cosα = 11/16 - 3/16 + 1                                                                       cosα = 3√11/11                                                                       cosα = 0,9                                                               ответ: 0,9

Находим радиус окружности вписанной в  δ: для правильного треугольника формула такая: r=(a*√3)/6, где  a - сторона треугольника r=(24*√3)/6=4√3 теперь радиус описанной окружности: формула для правильного  δ: r=(a*√3)/3 r=24*√3/3=8√3 длина окружности находится по формуле: l=2πr, cчитаем: l1=2π*4√3=π8√3 l2=2π*8√3=π16√3 складываем: l=π8√3+π16√3=π24√3