Прямоугольник abcd-основание пирамиды tabcd, причем ребро taперпендикулярно плоскости основания и равно 5. точка m лежит на медиане dl грани cdt, а точка n лежит на диагонали bd. прямые am иtn пересекаются. известно что bn: nd=1: 3. найдите длину отрезка mn.

проводим из точки m прямую параллельную bc и получаем сечение (треугольник) mm1t

а)  сразу же скажем, что высоты этих пирамид , т.к они имеют общую вершину

​vtmm1bcvtamm1d=smbcm1samm1d​

остается найти площади этих трапеций: )

сделаем выносной чертеж на плоскость основания, при этом продлим стороны ab и cd до пересечения в точке z (частый прием в 16)

bh1 — высота трапеции.

​am=2mb​ по условию, пусть  ​mb=x​

​ad=2bc​ по условию, пусть  ​bc=y​

из подобия треугольников zbc и adz следует, что  ​zbzb+3x=12​

отсюда  ​zb=3x​

из подобия треугольников zbc и mm1z следует, что  ​ymm1=3x4x​

​mm1=43y​

​bh=4​ — по условию, тогда из подобия треугольников mbh и abh1 следует, что  ​bhbh1=x3x​

отсюда  ​bh1=12​,  ​hh1=12−4=8​

​samm1d=mm1+ad2∗hh1=43y+2y2∗8=40y3​

​smbcm1=mm1+bc2∗4=43y+y2∗4=14y3​

​vtmm1bcvtamm1d=smbcm1samm1d=14y40y=720​

б) нам нужно как-то использовать площадь сечения…

​v=vtmm1bc+vtamm1d=277vtmm1bc​  (из пункта а)

v-объем всей пирамиды

​​vtmm1bcvtmbm1=sbmm1csbmm1​

​sbmm1=0.5∗mm1∗4=83y​

​sbcmm1=143y​

vtmm1bcvtmbm1=sbmm1csbmm1=74​

​vtmm1bc=74vtmbm1=74∗403=703

​vtmbm1=13∗smm1t∗4=403​​

​v=277∗703=90​

ответ: 90

61+47=108

180-108=72

///////////////////////////