Вася играет сам с собой в игру. вначале он пишет на доске положительное число (не обязательно целое). за один ход он может стереть наименьшее число (одно из наименьших, если их несколько), разбить его на два положительных
слагаемых х и у и записать на доску два числа 2; г и 3; у (например, стерев число 3, можно записать '2 и 6, что соответствует х = 1, у = 2). может ли вася добиться того, чтобы в тот момент, когда на доске окажутся 2011 чисел, все они были
равны единице?

вася стирает число a=x+y

вместо него он получит два числа 2x и 3y, сумма которых

2x+3y=2x+2y+y=2(x+y)+y=2a+y> 2a (y> 0)

то есть делая ход вася увеличивает сумму уже имеющихся у него чисел на число большее числа которое он стирает

(сумма чисел возрастает на удвоенное число которое вася стирает плюс еще какоето положительное число)

если он дошел до момента что у него 2010 чисел

1) среди них есть хотя бы не одна единица - число а,

а> 1, он стирает одну из 1 так как она меньше числа а

и у него в лучшем случае стает 2009-1+2=2010 единиц, а надо 2011

2) все 2010 полученных чисел 1, тогда он стирает одну из единиц, а сумма всех чисел возрастет больше чем на две единицы(см. выше), и сумма окажется больше 2011=1+1+1+ (2011 раз)

3) пусть среди 2010 чисел двое чисел хотя бы меньше 1, тогда стерев одно из них, на следующем ходу у него останется одна не 1

3) (2009 единиц и число 5\6)

пусть среди 2010 чисел только одно из чисел b< 1, остальные 2009 чисел - единицы, тогда ему нужно разбить число в на два числа так, чтобы и число "2x" и "3y" (b=x+y)

были равны 1 но тогда число х=1\2 а число y=1\3

значит число в=1\2+1\3=5\6

очевидно, что на предыдущем ходу он получил 1 и число в=5\6

(5\6 меньше 1, и он бы должен был стирать 5\6 если бы оно появилось раньше, а не одну из 1, других чисел у него нет)

на предыдущем ходе

у него было 2008 единиц и какоето число с, из которого он получил 1 и 5\6

так как он стер число с, то оно меньше или равно1

если с=1, то 1=x+y

и 2x=1 3y=5\6  (x=1\2 y=5\18 и тогда x+y не равно 1)

или 3x=1 2y=5\6 (x=1\3 y=5\12 и тогда x+y не равно 1).

если с< 1, то x+y=c< 1

и 2x=1 3y=5\6  (x=1\2 y=5\18 c=14\18=7\9)

или 3x=1 2y=5\6 (x=1\3 y=5\12 c=9\12=3\4).

1.1.значит у него было 2008 единиц и число 7\9 или

1.2. 2008 единиц и число 3\4

(2006 единиц и число d получает 2007 единиц и число 7\9)

d=x+y< =1

d=1

(2x=1 3y=7\9 x=1\2 y=7\27  x+y не равно 1

2x=7\9 3y=1 x=7\18 y=1\3 x+y не равно1)

d< 1

2x=1 3y=7\9 x=1\2 y=7\27  x+y=d=41\54

2x=7\9 3y=1 x=7\18 y=1\3 x+y=d=13\18)

(2006 единиц и число d получает 2007 единиц и число 3\4)

d=1

(2x=1 3y=3\4 x=1\2 y=3\12  x+y не равно 1

2x=3\4 3y=1 x=3\8 y=1\3 x+y не равно1)

d< 1

2x=1 3y=3\4 x=1\2 y=1\4  x+y=d=3\4

2x=3\4 3y=1 x=3\8 y=1\3 x+y=d=11\24)

таким образом напрашивается

3\4 стираем

3\4=1\2+1\4

получаем 1=2*1\2 и 3\4=3*1\4

так делаем 2007 раз, (получаем 1 и 3\4 стирая 3\4)

на 2008 раз стираем 3\4

3\4=9\12=4\12+5\12=1\3+5\12

получаем 1=3*1\3 и 5\6=2*5\12

получаем 2009 единиц и число 5\6(5\6 меньше 1)

5\6=1\2+1\3

1=2*1\2        1=3*1\3

получаем 2011 единиц

ответ: можно

17. 500 км

18. 375 учасників брали участь у змаганні