Докажите справедливость равенства: sin4a+2sin2a cos2a + cos4a + sin2a + cos2a = 2

пусть а - сторона меньшего треугольника, b - большего, r - радиус окружности.

по теореме синусов a = 2rsin(60)= rкорень(3). (это можно получить сотней способов, без теоремы синусов)

для большего треугольника r - радиус вписанной окружности. 

(для правильного треугольника центры вписанной и описанной окружности с точкой пересечения медиан, и отрезок медианы - любой - от вершины до точки пересечения медиан - это радиус описанной окружности, а от точки пересечения медиан до стороны - это радиус вписанной окружности. поскольку точка пересечения медиан делит медиану на отрезки в пропорции 2/1, то радиус описанной окружности у правильного треугольника в два раза больше радиуса вписанной окружности)

поэтому у большего треугольника радиус описанной окружности 2r, и b = 4rsin(60).

отсюда b = 2a, так же относятся и периметры, а отношение площадей равно 4.