На плоскости даны окружность ω , точка a, лежащая внутри ω , и точка b, отличная от a. рассматриваются всевозможные треугольники bxy, такие что точки x и y лежат на ω и хорда xy проходит через точку a. докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников bxy, лежат на одной прямой.

на плоскости даны окружность   ω  , точка a, лежащая внутри   ω  , и точка b, отличная от a.рассматриваются всевозможные треугольники bxy, такие что точки x и y лежат на   ω  и хорда xy проходит через точку a.докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников bxy, лежат на одной прямой.  решение:   по теореме о произведении отрезков хорд произведение xa  •  ay не зависит от положения хорды xy и равно некоторой постоянной величине d.на продолжении отрезка ba за точку a отложим отрезок ac длины  .тогда ab  •  ac  =  xa  •  ay  =  d, следовательно точки x, b, y и c лежат на одной окружности.это означает, что окружности, описанные около треугольников bxy, проходят через фиксированные точки b и c,следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку bc.

2.в пространстве даны n точек общего положения(никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости,  ).через каждые три из них проведена плоскость.докажите, что какие бы n  –  3 точки в пространстве ни взять,найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n  –  3 точек.решение:   пусть x — произвольное множество из n  –  3 точек.очевидно, что в нашем множестве m есть точка x, не принадлежащая множеству x.соединим ее прямыми с остальными точками множества m.по условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n  –  1.поскольку в множестве x менее n  –  1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает x.через эту прямую и оставшиеся (n  –  2) точки множества m проведём (n  –  2) плоскости.так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве x, одна из них не пересекает x.эта плоскость и является искомой. 3.существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты? решение:   ответ: да.обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1,  …  ,x10  и s. тогдаследовательно,  . пусть nk  =  3k (k  =  1,  …  ,10).тогда сумма квадратов делится на 9. ясно, что числа    удовлетворяют требованиям . 4.в треугольник abc вписана окружность, касающаяся сторон ab, ac и bc в точках c1, b1  и a1  соответственно.  пусть k — точка на окружности, диаметрально противоположная точке c1, d — точка пересечения прямых b1c1  и a1k.докажите, что cd  =  cb1.решение:   заметим, что ca1  =  cb1  (как касательные, проведенные к вписанной окружности из одной точки).пусть окружность с центром в точке c и радиуса ca1  =  cb1  пересекает прямую a1k в точке d1.мы должны доказать, что точки d и d1  , т.е. что точки d1, b1  и c1  лежат на одной прямой.прямая ka1  перпендикулярна a1c1  и, следовательно, параллельна биссектрисе bo.поэтому  .угол c при вершине равнобедренного треугольника a1cd1  равен 180  –  2  •    ∠  oba1  =    ∠  a  +    ∠  c,следовательно,   ∠  b1cd1  =    ∠  a.в равнобедренных треугольниках d1cb1  и b1ac1  углы при вершинах равны.поэтому равны и углы при основаниях:   ∠  d1b1c  =    ∠  c1b1a.это и значит, что точки d1, b1, c1  лежат на одной прямой. 

1)28 к 91=28:91=4:13

2)1,25 к 0,55=1,25:0,55=25:11

3)12минут к 2/3ч=12:40=3:10

4)800г к 2,5кг=800:2500=8:25