50 1. дерево высотой 3 м находится на расстоянии 8 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной 4 шага. определите высоту фонарного столба. 2. на окружности обозначены 3 точки а, в, и с так, что ав=9 см, вс=40 см, ас=41 см. найдите радиус окружности. 3. в прямоугольном треугольнике abc проведена высота ch к гипотенузе. ch=4см, bh=3 см. найти катет ac. 4. боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, а угол при вершине – α. выразите основание треугольника через эти величины. 5. в остроугольном треугольнике авс ас=b, ∠a=α, ∠c=β. выразите проекции сторон ав и вс на сторону ас.

1-a - основание столба, b - верхушка столба (= "фонарь"), c - основание дерева, d - верхушка дерева, e - конец тени. cd=1м, ac = 8ш; ce=4ш⇒ae=12ш. из подобия треугольников abe и cde⇒ ab/cd=ae/ce; ab=  3м 2-треугольник авс - прямоугольный. докажем это с применением теоремы пифагора: 41²=40²+9² 1681=1600+81 значит, ас - гипотенуза. в прямоугольном треугольнике центр окружности находится посередине гипотенузы, следовательно, радиус окружности равен 41: 2=20,5 см. ответ: 20,5 см. 3-1)вс^2=4^2+3^2=25 bc=5 2)bc^2=ac*hb 5^2=x*3 25=3x x=25/3 3)по теореме пифагора ас^2+5^2=(25/3)^2 ac^2=625-225/9 ac^2=400/9 ac=20/3 4-опустим из вершины равнобедренного треугольника высоту, которая по известной теореме является медианой и биссектрисой. тогда из получившихся прямоугольных треугольников найдем, что sin(α/2) = (x/2)/b = x/(2b), где x - это длина искомого основания. теперь выразим икс. x = 2b*sin(α/2). 5-опускаем перпендикуляр bd на сторону ac. проекция ab на ac - это ad=  ab cos a; проекция bc на ac - это cd= bc cos c. из теоремы синусов  ab/sinc=bc/sina=ac/sin(a+c) ab=ac sinc/sin(a+c) bc=ac sina/sin (a+c) следовательно ad=ac sinc cosa/sin(a+c) cd=ac sina cosc/sin(a+c)

Ав: км=вс: мn=ас: кn=4/5 (8: 10=12: 15=16: 20=4/5), значит, по третьему признаку подобия треугольников треугольник авс подобен треугольнику кмn. коэффициент подобия равен 0,8  по теореме об отношении площадей подобных треугольников это отношение равно коэффициенту подобия в квадрате, то есть: s авс: s кмn=(0,8)  =16/25