Прямая ом перпендикулярна к плоскости правильного треугольника abc и проходит через центр о этого треугольника, ом = а, ∠mco = φ. найдите: а) расстояние от точки м до каждой из вершин треугольника abc и до прямых ав, вс и сa; б) длину окружности, описанной около треугольника abc; в) площадь треугольника abc.

)так как ом перпендикулярна плоскости авс => l moc = 90 град. => в треугольнике moc: om = a l mco = ф => mc = mo \ sin ф = a \ sin ф - расстояние от м до вершины с. так как о - центр правильного треугольника => mc = ma = mb 2) r = oc = mo \ tg ф = a \ tg ф - радиус описанной окружности => c = 2pi * r = 2pi * a \ tg ф - длина описанной окружности 2) r = ab * v3\3 - радиус описанной окружности. и ранее найден r = a \ tg ф => ab * v3\3 = a \ tg ф ab = av3 \ tg ф - cторона треугольника авс r = ab * v3\6 - радиус вписанной окружности, он же равен расстоянию от центра о до стороны (любой) треугольника авс => r = ab * v3\6 = (av3 \ tg ф) * v3\6 = a \ 2tg ф пусть ок - перпендикуляр к стороне, например, ас => в треугольнике okm: l mok = 90 град. ok = r = a \ 2tg ф om = a => mk^2 = ok^2 + om^2 = = (a \ 2tg ф) ^2 + a^2 = a^2 * (1+ 4tg^2 ф) \ 4tg^2 ф => mk = v{a^2 * (1+ 4tg^2 ф) \ 4tg^2 ф} = = (a \ 2tg ф) * v{1+4tg^2 ф} - расстояние от м до стороны треугольника авс s = ab^2 * v3\4 = = av3 \ tg ф * v3\4 = 3a \ 4tg ф

Треугольник авс - прямоугольный,  ∠в=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90° сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника авс. ∠а+∠в+∠с=90° поскольку по условию   cab=2*acb, значит в треугольнике авс∠а=2*∠с, выходит 2*∠с+90°+∠с=180° 3*∠с=90° ∠с=30°. значит  ∠а=2*∠с=2*30°=60°. рассмотрим прямоугольный треугольник авс дальше: ас-гипотенуза, ав и вс - это катеты cos  ∠а=ав/ас sin  ∠а=вс/ас cos  ∠а=cos  60°=1/2=0,5 sin  ∠а=sin  60°=√3/2=0,5√3 cos  ∠а=ав/ас 0,5=ав/ас, отсюда ав=0,5ас=0,5*10см=5см sin  ∠а=вс/ас 0,5√3=вс/ас, отсюда вс=0,5ас√3=0,5*10√3=5√3 см у прямоугольника противоположные стороны равны, значит  ав=се=5 см вс=ае=5√3 см периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть периметр=ав+вс+се+ае периметр=5+  5√3+  5+5√3 периметр=10+10√3 периметр=10*(1+√3) см ответ: периметр прямоугольника =  10*(1+√3) см