Ахиллес и черепаха бегали вокруг стадиона весьма необычным способом. одновременно стартовав в одном направлении, ахиллес всякий раз менял направление бега на противоположное, как только встречался с черепахой. известно, что за то время, пока черепаха совершила ровно 1 круг, ахиллес успел всего 2 раза встретиться с черепахой, и одновременно с ней прибежал к стартовой позиции. во сколько раз ахиллес быстрее черепахи? ответ округлите до сотых.

Обозначим s длину круга, v скорость черепахи, w скорость ахиллеса. нам надо найти отношение w/v. первый раз ахиллес догнал черепаху, когда она прошла x м. ахиллес к этому моменту пробежал полный круг и еще x м, всего s+x м. t1 = x/v = (s+x)/w после встречи ахиллес развернулся и побежал обратно. в момент второй встречи черепаха оказалась в точке y м, то есть она прошла y-x м. ахиллес пробежал x м обратно до старта и еще s-y м до встречи. всего он пробежал s+x-y м. t2 = (y-x)/v = (s+x-y)/w третий раз черепаха закончила круг, s м. то есть прошла s-y м. ахиллес развернулся и побежал туда же, что и черепаха, причем обогнал ее со старта. он пробежал s-y м до старта и еще круг, s м. всего 2s-y м. t3 = (s-y)/v = (2s-y)/w выразим w/v из всех трех уравнений { w/v = (s+x)/x { w/v = (s+x-y)/(y-x) { w/v = (2s-y)/(s-y) приравняем правые части этих уравнений { (s+x)/x = (s+x-y)/(y-x) { (s+x)/x = (2s-y)/(s-y) решаем пропорции { (y-x)(s+x) = x(s+x-y) { (s+x)(s-y) = x(2s-y) раскрываем скобки { sy - sx + xy - x^2 = sx + x^2 - xy { s^2 + sx - sy - xy = 2sx - xy приводим подобные { sy - 2sx = 2x^2 - 2xy { s^2 = sx + sy из 2 уравнения s = x + y. подставляем в 1 уравнение s(y - 2x) = 2x^2 - 2xy (x + y)(y - 2x) = 2x^2 - 2xy xy + y^2 - 2x^2 - 2xy = 2x^2 - 2xy 4x^2 - xy - y^2 = 0 делим все на y^2 4(x/y)^2 - (x/y) - 1 = 0 d = 1 - 4*4*(-1) = 17 (x/y)1 = (1 - √17)/8 ≈ -0,39 - не может быть, x и y разных знаков. (x/y)2 = (1 + √17)/8 ≈ 0,64 - подходит x = y*(1+√17)/8; s = x + y = y*(1+√17)/8 + y = y*(9+√17)/8 отношение скоростей ахиллеса и черепахи: w/v = (s + x)/x = s/x + 1 = [y(9+√17)/8] : [y(1+√17)/8] + 1 = = (9+√17)/(1+√17) + 1 = (9+√17)(√17-1)/(17-1) + 1 = (9√17+17-9-√17)/16 + 1 = = (8√17+8)/16 + 1 = (1+√17)/2 + 1 = (1 + √17 + 2)/2 = (3+√17)/2 ≈ 3,56

Втвердом плотность наибольшая, в газообразном наименьшая