Медиана am и биссектриса bd прямоугольного треугольника abc (угол c=90) пересекаются в точке о, bo=9, od=5. найти катеты и расстояние от точки о до гипотенузы ab.

Опустим из точки  o  перпендикуляры  ok  и  ol  на катеты  bc  и  ac. из подобия треугольников следует, что  dl: lc=5: 9; положим  dl=5y,  lc=9y. далее, полагая  bm=mc=7x  и используя тот факт, что  bk: kc=9: 5, приходим к равенствам  mk=2x,  kc=5x. теоема пифагора, применённая к треугольнику  bcd, влечёт равенство  x2+y2=1. при этом тангенс угла  dbc  будет равен  y/x, а потому тангенс удвоенного угла  abc  равняется 2yx1−y2x2=2xyx2−y2. теперь рассмотрим подобные треугольники  omk  и  amc, откуда отношение  ok: ac  равно  mk: mc=2: 7. ввиду того, что  ok=lc=9y, находим  ac=63y/2. это значит, что тангенс угла  abc  равен  ac: bc=9y4x. приравнивая два выражения для тангенса одного и того же угла, мы после приходим к уравнению  x2=9y2, после чего  x  и  y  легко находятся. расстояние от  o  до гипотенузы равно расстоянию от  o  до катета  bc, что составляет  ok=lc=9y.

Решение смотри на картинке.