Расположите в порядке убывания числа 1/2, 4/15 и 11/45.

1) неверно. это может быть дельтоид. ещё может быть трапеция с перпендикулярными диагоналями. если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб, но в условии дан произвольный четырёхугольник, а не параллелограмм. 

2) неверно. центр описанной около прямоугольного треугольника лежит на гипотенузе. так что центр описанной около треугольника окружности может лежать на стороне треугольника.

3) верно. 

дан треугольник со сторонами: √a, √b, √(a + b).

проверим по теореме, обратной к теореме пифагора.

если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой   треугольник прямоугольный:

(√(a + b))² =   (√a)² + (√b)²

a + b = a + b. верно.

теорема обратная теореме пифагора выполняется, следовательно, треугольник прямоугольный.

4) верно. существует треугольник, в котором любая из высот меньше любой из медиан?

если хотя бы один такой треугольник в пример, то ответ на вопрос – да, существует. пример такого треугольника. рассмотрим треугольник на приложенном изображении. один из углов у него – тупой, причём, величина близка к 180°. длины сторон – достаточно большие. вот в таком треугольнике любая высота короче любой медианы. в приложении «живая » измерены длины высот и медиан. так что существование такого треугольника очевидно. над доказательством этого факта   подумаю на