Даны координаты вершин пирамиды abcd. __ __ найти: 1) |ab|; 2) (ab; ac); 3) пр ab ac; 4) площадь грани abc; 5) уравнение грани abc 6) уравнение ребра ad; 7) угол между ребром ad и гранью abc; 8) смешанное произведение (ab, ac, ad) и v - объём пирамиды abcd; 9) уравнение высоты,опущенной из вершины d на грань abc и ее длину; 10) уравнение плоскости, проходящей через точку d параллельно грани abc. a(6; 2; 3); b(6; 5; 6); c(3; 6; 7); d(4; 2; 2)

Даны координаты вершин пирамиды abcd: a(6; 2; 3); b(6; 5; 6); c(3; 6; 7); d(4; 2; 2). найти: 1) |ab|.   вектор ав={xb-xa, yb-ya, zb-za} =    (0;   3;   3).   длина ребра ав =  √(0² + 3² + 3²) =  √18  ≈ 4,242640687. 2) (ab; ac). вектор аc={xc-xa, yc-ya, zc-za} =  (-3; 4; 4).l(ac) =  √41  ≈   6,403124237.

  скалярное произведение векторов ав и ас равно:

a  ·  b  =  ax  ·  bx  +  ay  ·  by  +  az  ·  bz  =  0  ·  (-3)  +  3  ·  4  +  3  ·  4  =  0  +  12  +  12  =  24. 3) проекция вектора ab на ac; решение: пр  ba  = (a  ·  b)/|b|.

скалярное произведение векторов уже найдено и равно 24.

найдем  модуль вектора:

|b|  =  √(bx²   +  by²   +  bz²)  =  √)²  +  4²  +  4²)  =  √(9  +  16  +  16)  =  √41. пр  ba  =  24/√41   =  24√41/41  ≈  3,7481703. 4) площадь грани abc.s = (1/2)*|ab|*|ac|*sinα =    (1/2)*|ab|*|ac|*√(1 - cos²α) . найдем угол между ребрами ab(0; 3; 3) и ac(-3; 4; 4): cos  α = (0*(-3)+3*4+3*4)/(√18*√41) = 24/√738 = 4√82/41  ≈  0,883452.sin  α =  √(1 -  0,883452²) =  0,468521.s(abc) = (1/2)*√18*√41*0,468521 =  6,363961. 5) уравнение грани abc.

если точки a1(x1; y1; z1), a2(x2; y2; z2), a3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1              y-y1          z-z1x2-x1        y2-y1        z2-z1x3-x1        y3-y1        z3-z1    = 0.

уравнение плоскости abc

x-6    y-2      z-3 0        3          3 -3        4          4    = 0. (x-6)(3*4-4*3) - (y-2)(0*)*3) + (z-3)(0*)*3) = - 9y + 9z-9 = 0. выражение: - y + z - 1 = 0. 6) уравнение ребра ad.уравнение прямой ad(-2,0,-1) ad: (x - 6)/(-2) = (y - 2)/0 = (z - 3)/(-1). параметрическое уравнение прямой: x=6-2t y=2+0t z=3-t. 7) угол между ребром ad и  гранью abc.синус угла γ  между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором n(a; b; c) можно найти по формуле: sin γ  = |al+bm+cn|/(√a²+b²+c²)*√(l²+m²+n²). уравнение плоскости abc: - y + z-1 = 0 уравнение прямой ad получено выше. sin γ  = |0*(-2)+(-1)*0+1*(-1)|/(√0²+1²+1²)*√(2²+0²+1²) = 1/(√2*√5) =           = 1/√10  ≈  0,316228.γ  = arc sin  0,316228 =  0,321751 радиан = 18,43495°.       8) смешанное произведение (ab, ac, ad) и v - объём пирамиды abcd. произведение векторов a  ×  b  = {aybz  -  azby;   azbx  -  axbz;   axby  -  aybx}  .объем пирамиды, построенный на векторах a1(x1; y1; z1), a2(x2; y2; z2), a3(x3; y3; z3) равен:                               |x1        y1      z1|    v = (1/6)          |x2        y2      z2|                            |x3      y3      z3|                           | 0        3        3|      v = (1/6)         |-3      4          4|    = 9/6 = 1,5.                          |-2      0        -1|  где определитель матрицы равен: ∆ = 0*(4*(-1)-0*)*(3*(-1)-0*3)+(-2)*(3*4-4*3) = -9. 9) уравнение высоты,опущенной из вершины d на грань abc и  ее длину.для вычисления расстояния от точки m(4, 2, 2) до плоскости   -  y +z -1  =  0 используем формулу: d  =  |a·mx  + b·my  + c·mz  + d|/√(a²  + b² +    c²) подставим в формулу данныеd  =  |0·4 + (-1)·2 + 1·2 + (-1)|/√((0²  + (-1)²  + 1²)  =      = |0 - 2 + 2 - 1|  /√(0²  + (-1)²  + 1²)  = 1/√2 ≈  0.70710678. 10) уравнение плоскости, проходящей через точку d  параллельно грани abc.  плоскость, проходящая через точку m0(x0; y0; z0) и параллельная плоскости ax + by + cz + d = 0 имеет направляющий вектор (a; b; c) и, значит, представляется уравнением: a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 уравнение плоскости abc: - y + z-1 = 0 0(x-4)-1(y-2)+1(z-2) = 0 или 0x-y+z+0 = 0.

−43−+126−54.

минус и плюс дают минус

так что

−43−126−54.

-43-126=-169

-169-54=-223

-169-54=-223