Выражение: (3a-b)(a+b)+(b-3a)(b+3a)

(3a - b)(a + b) + (b - 3a)(b + 3a) = (3a - b)(a + b) - (3a - b)(b + 3a) = = (3a - b)(a + b - b - 3a) = - 2a(3a - b)

подобно на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. не одну тысячу лет к ним приковано внимание – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. евклид и эратосфен, эйлер и гаусс, рамануджан и харди, чебышёв и этот перечень учёных занимавшихся простыми числами и с ними связанными можно продолжать и продолжать.

на страницах нашего сайта уже шла речь о  бесконечности ряда простых чисел  и некоторых смежных вопросах. при этом нас интересовали все простые числа сразу. иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее. 

простые числа-близнецы

два простых числа, которые отличаются на 2, как

5   и   7,

11   и   13,

17   и   19,

получили образное название  близнецы  (эти числа называют ещё  парными  простыми числами). любопытно, что в натуральном ряду имеется даже  тройня  простых чисел – это числа

3,   5,   7.

ну а сколько всего существует близнецов – современной неизвестно.

числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето эратосфена. если для каждого вычеркнутого способом эратосфена числа  n  вычеркнуть так же число  n  – 2, то в таблице останутся лишь такие числа  р, для которых число  р  + 2 тоже простое. в пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:

3   и   5,

5   и   7,

11   и   13,

17   и   19,

29   и   31,

41   и   43,

59   и   61,

71   и   73.

с парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в  таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.

вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:

все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n  ± 1; при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, следующие пары остатков:

11   и   13,

17   и   19,

29   и   1;

по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше.  так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.

предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано.  исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. на данный момент рекордсменами считаются близнецы

3756801695685  · 2666669  ± 1,

которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта  primegrid. для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр. 

 

простые числа-триплеты

это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –

2, 3, 5   и   3, 5, 7.

данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. обобщённо: последовательность простых чисел

p,  p+2,  p+6   или   p,  p+4,  p+6

называется  триплетом. 

простые числа-триплеты в пределах первой сотни:

  5,   7, 11;

  7, 11, 13;

11, 13, 17;

13, 17, 19;

17, 19, 23;

37, 41, 43;

41, 43, 47;

67, 71, 73.