Докажите неравенство а^4+в^4≥а^3в+ав^3

а⁴ + b⁴ ≥ а³b + аb³

1)

а⁴ + b⁴ - а³b - аb³ ≥ 0

а³(а-b) - b³(а-b) ≥ 0

(а-b)(а³-b³) ≥0

(а-b)(а-b)(а²+аb+b²) ≥0

(а-b)²·(а²+аb+b²) ≥0

2)

первая скобка всегда больше или равна 0, остаётся доказать, что вторая скобка тоже всегда больше или равна 0.

а²+аb+b² ≥0 

a) докажем для неотрицательных a и b.

(a²+ab+ab+b²)-ab ≥ 0

(a² + 2ab + b²)  ≥ ab

(a+b)²  ≥ ab

а+b ≥ √аb 

  это неравенство справедливо как следствие из теоремы коши для среднего арифметического и среднего :

(а+b)/2 ≥ √аb

таким образом, всегда справедливо неравенство во второй скобке

(a²+ab+b²) ≥ 0.

2) докажем справедливость неравенства  (a²+ab+b²) > 0 для  отрицательных значений a и b.

a< 0;   b< 0

a²> 0;   b²> 0 - первое и третье слагаемые a² и  b² всегда положительны

ab> 0,  как произведение двух отрицательных(минус × минус = плюс)

сумма положительных слагаемых тоже положительна:  

(a²+ab+b²) > 0

3) докажем справедливость неравенства  (a²+ab+b²) > 0  для  значений  a и  b, различных по знаку:   a> 0;   b< 0.

(a²+ab+ab+b²)-ab > 0

(a² + 2ab + b²) > ab

(a+b)² > ab

это неравенство справедливо, т.к. 

(a+b)² ≥ 0 

ab < 0 (плюс × минус = минус)

положительное число больше отрицательного.

таким образом все три варианта доказывают справедливость неравенства 

(а²+ab+b²)≥0. что и требовалось доказать.