Точки a и b расположены на координатных осях плоскости xoy. какую наименьшую длину может иметь отрезок ab, если ему принадлежит точка m( 1 ; 8 ) ?

Точка а(x₀; 0) точка b(0; y₀) уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂) (x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁) и точка m(1; 8) лежит на прямой ав (x₀-1)/(0-8) = (0-1)/(y₀-8) (x₀-1)/8 = -1/(y₀-8)(x₀-1)(y₀-8) = 8y₀-8 = 8/(x₀-1)y₀ = 8 + 8/(x₀-1) = (8x₀-8+8)/(x ₀-1)y₀ = 8x₀/(x ₀-1)расстояниеr = √(x₀² + (8x₀/(x₀-1))²) производная по x ₀ (пока без 0 пишем, и так громоздко)dr/dx = 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²)) приравняем производную к нулю 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²))   = 0знаменатель отбросим2x +2*(8x/(x-1))*(-8/ (x-1)²) = 0x(1 - 64/ (x-1)³) = 0 x₁ = 0 - не подходит64/ (x-1)³ = 1 (x-1)³ = 64x-1 = 4x₂ = 5 - а вот это желанный минимум расстоянияx ₀ = 5y ₀ = 8x ₀/(x ₀-1) = 40/4 = 10и длина отрезка r = √(5²+10²) = √125 = 5√5

о.о.ф.