Понятие корня n-ой степени и его свойства

Свойства корня n-й степени чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения  корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем настоящем параграфе. все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней. доказательство.  введем следующие обозначения:     нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz. так как  итак,  но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания  степеней; значит, из равенства xn  =(уz)п  следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.      краткую запись доказательства теоремы. замечания: 1.  теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел. 2.  теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "» (как это принято для теорем в ). соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство    следующую теорему мы именно так и оформим. краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из  дроби  равен дроби от корней. доказательство.  краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были при доказательстве теоремы 1.конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса 8-го класса свойств квадратных корней. и если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не интересно). на самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2. пример 1.  вычислить  решение.  воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим: замечание 3.  можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее». пример 2.  вычислить  решение.  обратим смешанное число в неправильную дробь. имеем  воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим: пример 3.  вычислить:   решение.  любая формула в , как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». так, первое свойство корней означает, что    можно представить в виде  , наоборот,    можно заменить выражением  . то же относится и ко второму свойству корней. учитывая это, выполним вычисления: пример 4.  выполнить действия:   решение, а) имеем:   б) теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. как это делать, мы пока не знаем. вернемся к этой проблеме позднее.  продолжим изучение свойств радикалов. иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение. это — следствие теоремы 1. в самом деле, например, для к = 3

А)  37; б)  60; в) 97; г)  20; д) 75; е) 100