Радиус описанной окружности около основания правильной шестиугольной пирамиды равен .высота пирамиды равна 6. найти площадь полной поверхности и объём пирамиды, если апофема равна

№1.  основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники, вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей. 

обозначим пирамиду мавсd, мо - высота, мн - апофема ( высота боковой грани). 

апофема делит сторону основания пополам. вн=сн. 

диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам. 

∆ вос в основании - прямоугольный равнобедренный. 

мн⊥вс. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах он ⊥ вс, ⇒ он — высота и медиана ∆ вос. по свойству медианы он=bh=ch.

он=√(мн²-мо²)=√(225-144)=√81=9

bh=oh=9 

mb=√(mh²+bh²)=√(225+81)=√306=3√34

№2

если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности.  для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы  ( значит, равен и медиане). 

  гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна  10  см (египетский треугольник). 

тогда высота    мн  ( и медиана ) ∆ амв=ав=10  см. вн=ан=5  см 

ам= √(mh²+ah²)=√(100+25)=5√5 см

№3. 

в основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник авс, угол с=90°, ас=вс=6  см. высота пирамиды - третье из смежных ребер=8  см. 

площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней. 

s осн=ас•bc: 2=18  см²

грани амс=вмс по равенству катетов. 

s  ∆  amc=s ∆ bmc=6•8: 2=24  см²

s amb=mh•ab: 2

ab=ac: sin45°=6√2 

ch высота и медиана ∆ асв=ав: 2=3√2

высота mh большей боковой грани s=√(ch*+mh*)=√(18+64)=√82

s∆amb=6√2•√82=6√164=12√41

s полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²

№4

s полн=sбок+sосн

боковые грани этой правильной пирамиды равны. обозначим её мавс.

мн- высота и медиана боковой грани. ан=вн=6 см

∆ амв - равнобедренный. апофема мн=√( ам²-ан²)=√64=8 см

sбок=3•мн•ав: 2=144 см²

sосн=ав²•√3: 4=36√3 см²

sполн=144+36√3=36(4+√3)  см² 

№5

параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание  и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.

обозначим большую сторону основания ав, меньшую - вс, высоту аа1. 

  угол а1ва=60° (дано)

а1а=ав•tg60°=5√3 

площадь основания ав•bc=5•3=15 оснований два.  s=2•15=30  см²

площадь боковой пов-сти аа1•2(ab+bc)=5√3•16=80√3  см²

sполн=(30+80√3)  см²

А) опустим перпендикуляр из точки пересечения медиан на сторону вс. заметим, что эта высота равна данному нам  расстоянию √3см. в прямоугольном треугольнике овн угол овн=60° (дано). значит ов=он/sin60 или ов=√3*2/√3=2см. медианы делится точкой их пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины. значит ов =(2/3)*bd, тогда  вd=ов*3/2= 3 cм. ответ: bd=3см. б) если < abd=30°, то < abc=< abd+< dbc=30°+60°=90°. то есть треугольник авс прямоугольный (< в=90°), в котором медиана из прямого угла равна половине гипотенузы, то есть bd=ad=dc. тогда треугольник dbc равнобедренный и < c=< dbc=60°. в прямоугольном треугольнике авс угол с=60°. значит ав=ас*sin60°=3√3см. ответ: ав=3√3см.