100 ! докажите, что любое движение однозначно задается тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. другими словами, для любых не лежащих на одной прямой точек a,b,c и их образов a',b',c' существует единственное движение. с рисунком.

Теорема шаля теорема шаля  классифицирует все  изометрические преобразования(движения) плоскости. её доказал и механик  мишель шаль  (1793—1880) всякое сохраняющее  ориентациюдвижение плоскости представляет собой либо  поворот  (в частности,  центральную симметрию), либо  параллельный перенос. всякое меняющее ориентацию движение плоскости является  осевой  или  скользящей симметрией. при обобщении на трёхмерное пространство формулировка даже : всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением. всякое меняющее ориентацию движение плоскости является композицией  симметрии относительно плоскости  и винтового движения. также теоремой шаля называют некоторые другие утверждения (см.  . статью,  [1]  или  [2]). доказательство основные идеи доказательства: любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами. любое движение представимо в виде  композиции  не более чем трех  осевых симметрий. перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трех осевых симметрий.

так как длины отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то ar = ap, bp = bq, cq = cr.

для удобства обозначим попарно равные отрезки ar = ap = x, bp = bq = y, cq = cr = z.

тогда:

ав = х + y = 10. (1).

ac = x + z = 5. (2).

bc = y + z = 12. (3).

решим систему их трех уравнений методом сложения.

вычтем из первого уравнения второе.

(x + y) – (x +z) = 10 – 5.

y – z = 5.

прибавим третье уравнение к последнему.

(y + z) + (y – z) = 12 + 5.

2 * y = 17.

y = 17 / 2 = 8,5 cm.  

подставим значение y и найдем x и z.

х + 8,5 = 10.

х = 10 – 8,5 = 1,5 см.

z = 12 – y = 12 – 8,5 = 3,5 cм.

тогда: ar = ap = 1,5 см, bp = bq = 8,5 см, cq = cr = 3,5 см.

ответ: ar = ap = 1,5 см, bp = bq = 8,5 см, cq = cr = 3,5 см.