Представьте в виде многочлена 2x(x^4-5x^3+3)

Объяснение:

Чтобы уравнение было менее страшным, введём новые обозначения.

Обозначим x + y = u.

Чтобы было проще извлечь корень

удобно обозначить x - y = uv², причем для определённости примем v ≥ 0. Тогда весь корень равен просто v.

Рассмотрим, что получится, если подставить новые переменные в первое уравнение:

После замены переменных t = uv получается квадратное уравнение t² + t = 20, корни которого угадываются по теореме Виета, это t = -5 или t = 4.

Итак, uv = -5 или uv = 4. Тогда x - y = uv · v = -5v или 4v.

Поскольку по договоренности v ≥ 0, u должно быть отрицательным.

Заметим, что (x - y)² + (x + y)² = x² - 2xy + y² + x² + 2xy + y² = 2(x² + y²) = 68 в соответствии со вторым уравнением. Тогда, подставив новые переменные, получаем:

u² + 25v² = 68

При этом u² · 25v² = 25(uv)² = 25², значит по теореме Виета u² и 25v² — корни квадратного уравнения t² - 68t + 25² = 0.

Выделяем полный квадрат:  t² - 68t + 25² = t² - 2 · 34t + 34² + (25² - 34²) = (t - 34)² + (25 - 34)(25 + 34) = (t - 34)² - 9 · 59

Значит, t = 34 ± 3√59 — оба корня положительные. Получаем два варианта:

1) , . В терминах x и y это приводит к такой системе уравнений:

Полусумма и полуразность этих уравнений даёт x и y

2)  , . Аналогично,

Здесь u должно быть положительным. Следуя первому случаю, последовательно находим:

u² + 16v² = 68

При этом u² · 16v² = 16(uv)² = 16², значит по теореме Виета u² и 16v² — корни квадратного уравнения t² - 68t + 16² = 0.

Выделяем полный квадрат:  t² - 68t + 16² = t² - 2 · 34t + 34² + (16² - 34²) = (t - 34)² + (16 - 34)(16 + 34) = (t - 34)² - 30²

Значит, t = 34 ± 30, t = 4 или t = 64. Получаем два варианта:

1) u = 2, 4v = 8. В терминах x и y это приводит к такой системе уравнений:

Решение этой системы уравнений — x = 5, y = 3

2) u = 8, 4v = 2. Аналогично, x = 5, y = -3.

Решения для "первого случая" (когда x - y = -5v) выглядят громоздко. В принципе, их можно оставить и так, но можно немного упростить.

Попробуем извлечь корень, возможно это как-то . Положим

Возведём в квадрат:

Чтобы равенство выполнялось, достаточно потребовать

Еще раз вспоминаем теорему Виета, a и b оказываются корнями уравнения

Корни этого уравнения 9/2 и 59/2. Так как , то a должно быть больше b. Значит,

Если подставить полученные значения вместо корней в решение для первого случая, получится пара корней