Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4 и 5.

Треугольник abc, медианы aa1, bb1 и cc1 пересекаются в точке o. если продлить медиану aa1 за точку a1 (середину стороны bc) на расстояние, равное a1o, и полученную точку a2 (a1a2 = a1o) соединить с точками b и c, то фигура boca2 - параллелограмм (диагонали его делятся пополам в точке пересечения). поэтому ba2 = co. таким образом, треугольник boa2 имеет стороны, равные 2/3 от длин медиан (не важно, какая именно медиана равна 3, какая 4, и какая 5). площадь этого треугольника boa2 равна площади "египетского" треугольника со сторонами 3,4,5, умноженной на (2/3)^2; то есть sboa2 = (3*4/2)*(4/9) = 8/3; с другой стороны, площадь этого треугольника равна 1/3 площади треугольника abc, потому что медианы делят треугольник на шесть треугольников равной площади, а площадь треугольника boa2 равна площади треугольника boc - и там и там половина площади параллелограмма boca2. поэтому площадь abc равна 8.

Перпендикуляр к плоскости авс аs=12 δавс - равнобедренный: боковые стороны  ав=ас=20; основание вс=24. в равнобедренном δавс проведем высоту ак к основанию, которая является и медианой (вк=ск=вс/2=12), и биссектрисой. ак²=ав²-вк²=20²-12²=400-144=256 расстояние от s до вс - это длина  sк из прямоугольного  δsак:   sк²=аs²+ак²=12²+256=400 sк=√400=20