Разделить: a^128-b^128 на (a + b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^16+b^16)(a^32+b^32)(a^64+b^64) решить.

обозначим для удобства  делитель через  c = (a+b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²)(a⁶⁴ + b⁶⁴). тогда a¹²⁸ - b¹²⁸ = (a⁶⁴ + b⁶⁴)(a⁶⁴ - b⁶⁴) = (a⁶⁴ + b⁶⁴)(a³² + b³²)(a³² - b³²) = (a⁶⁴ + b⁶⁴)(a³² + b³²)(a¹⁶ + b¹⁶)(a¹⁶ - b¹⁶) =  (a⁶⁴ + b⁶⁴)(a³² + b³²)(a¹⁶ + b¹⁶)(a⁸ + b⁸)(a⁸ - b⁸) = (a⁶⁴ + b⁶⁴)(a³² + b³²)(a¹⁶ + b¹⁶)(a⁸ + b⁸)(a⁴ + b⁴)(a⁴ - b⁴) = (a⁶⁴ + b⁶⁴)(a³² + b³²)(a¹⁶ + b¹⁶)(a⁸ + b⁸)(a⁴ + b⁴)(a² + b²)(a - b²) = (a⁶⁴ + b⁶⁴)(a³² + b³²)(a¹⁶ + b¹⁶)(a⁸ + b⁸)(a⁴ + b⁴)(a² + b²)(a + b)(a - b) = (a - b)*c. следовательно (a¹²⁸ - b¹²⁸)/c = (a - b)*c/c = a - b.

ответ: a - b. 

Попробуем доказать по индукции. 5^(5x+1) + 4^(5x+2) + 3^(5x) = 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x) при x = 0 будет 5*5^0 + 16*5^0 + 3^0 = 5 + 16 + 1 = 22 = 2*11 - делится на 11. пусть при каком-то x это верно, докажем, что это верно и при x+1 5^(5x+5+1) + 4^(5x+5+2) + 3^(5x+5) = 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) = = 5^6*5^(5x) + 4^7*4^(5x) + 3^5*3^(5x) = 15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x) вычтем из него нашу сумму 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x), которая делится на 11, и проверим, делится ли на 11 разность. 15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x) - 5*5^(5x) - 16*4^(5x) - 3^(5x) = = 15620*5^(5x) + 16368*4^(5x) + 242*3^(5x) = = 11*1420*5^(5x) + 11*1488*4^(5x) + 11*22*3^(5x) все три коэффициента делятся на 11, значит, и разность делится на 11, и следующий член последовательности 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) делится на 11.