Прямой круговой конус с наибольшим объемом вписан в данный конус. причем вершина внутреннего конуса находится в центре основания данного конуса. показать, что высота внутреннего конуса составляет 1/3 высоты данного конуса.

Через ось конуса проведем сечение, тогда в сечении получим равнобедренный треугольник abc.   в сечении вписанного конуса - треугольник def, где d - середина ав,   ef параллельна ac. пусть h - высота треугольника def,   r - радиус основания меньшего конуса. треугольник abc подобен треугольнику ebf.   пусть r - радиус основания большего конуса,   h - высота большего конуса.   из подобия треугольников abc и ebf :   r/r = h/(h-h)   =>   r =r(h  -  h)/h     vкон.вписан = (1/3)*r^2*(h-h)^2*h/h^2   необходимо найти максимум этого выражения для параметра h, считая r и h заданными.   постоянную r^2/h^2   можно убрать, следовательно, нужно найти максимум выражения   (h  -  h)^2*h   -> max ( h изменяется от 0 до h). находим производную и приравниваем нулю,   3h^2 - 4hh + h^2 = 0 h = (4h - кор квадр(16h^2 - 12h^2))/6 = (4h -2h)/6   =   h/3 следовательно, h/h = 1/3

ответ: 319

пошаговое объяснение: