15. докажите тождество: sin4α + cos4α + 2sin2α ∙ cos2α = 1 16. докажите тождество: sin4α – cos4α + 2cos2α = 1.

При доказательстве любых   тождеств,   и   в частности     тригонометрических,   обычно   используют следующие способы: 1)     выражение, стоящее и одной части равенства, с тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в     другой     части     равенства; 2)     выражения, стоящие в левой и   правой частях тождества, с   тождественных     преобразований     приводят   к одному и тому же виду; 3)   доказывают,   что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.поясним это на некоторых частных примерах.пример 1.      доказать тождествоsin4α  — cos4α    = sin2  α    — cos2  α  .используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем: sin4α  — cos4α  = (sin2α  + cos2α) (sin2α  — cos2α).ho  sin2α    +  cos2α    = 1.      поэтомуsin4α  —  cos4α  =  sin2α  — cos2α, что и требовалось доказать.   пример 2.      доказать тождествоэто     тождество     мы     будем   доказывать     путем     преобразования выражения, стоящего в правой части.способ       1.поэтому  способ     2.      прежде всего заметим, что ctg  α  =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg  α  =  1/ctg  α.     но если ctg  α  =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg  α, не изменяя значения дроби. следовательно,используя     тождества       tg  α  • ctg  α  =  1   и     1+ ctg2α    = cosec2  α ,  получаемпоэтому  что и требовалось доказать.замечание.  следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin  α) определена при всех значениях  α,   а   правая — лишь   при  α =/=  π/2  n.поэтому только при  всех допустимых    значениях  α                 вообще     же     эти выражения не     эквивалентны   друг другу.пример     3.      доказать тождествоsin (3/2  π + α  ) + cos (  π  -  α  ) = cos ( 2π +  α  ) - 3sin (π/2  -  α  )преобразуем   левую   и правую части этого тождества, используя формулы : sin (3/2  π + α  ) + cos (  π  -  α  )    = — cos  α  — cos  α    = — 2 cos  α; cos ( 2π +  α  ) - 3sin (π/2  -  α  )  = cos  α  — 3 cos  α  = — 2 cos  α.итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, к одному и тому же виду. тем самым тождество доказано.пример       4.        доказать   тождествоsin4  α  + cos4  α  — 1 = — 2     sin2α  cos2α.покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества   равна   нулю.     имеем: (sin4  α  + cos4  α  — 1) — (— 2     sin2α  cos2α)   = (sin4  α  + 2sin2α  cos2α  + cos4  α) — 1 == (sin2α    +  cos2α)2  — 1 = 1 — 1 = 0.тем самым тождество доказано.пример       5.      доказать тождество,это тождество     можно     рассматривать     как     пропорцию.     но чтобы доказать справедливость       пропорции   a/b  =  c/d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов  ad  равно произведению ее средних членов  bc. так мы поступим и в данном случае. покажем, что (1 — sin  α) (1+ sin  α) = cos  α  • cos  α.действительно,     (1 — sin  α)     (1 +  sin  α) = 1 —sin2α  = cos2α.по поводу этого примера можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию к  примеру 2 както так:

345 мм2 равно 3 см2 45 мм2 9дм 73см2 равно 973см2