Среднее гармоническое, и арифметическое различных натуральных чисел a < b являются натуральными числами. найдите минимально возможное b. (напомним, что среднее гармоническое чисел a и b -- это число, обратное к среднему арифметическому чисел 1/a и 1/b.)

По условию (a + b)/2, sqrt(ab) и 2ab/(a + b) — натуральные числа. пусть у a и b наибольший общий делитель d, a = ad, b = bd, a и b взаимно просты. среднее равно d * sqrt(ab). чтобы оно было натуральным числом, a и b должны быть полными квадратами. среднее гармоническое равно  2d * ab/(a + b). чтобы оно было натуральным числом, 2d должно делиться на a + b, поскольку у a + b нет общих делителей ни с a, ни с b. в случае, когда a = 1^2, b = 2^2, a + b = 5, d > = 5. во всех остальных случаях 2d > = a + b > = 1^2 + 3^2 = 10, опять-таки d > = 5. если d = 5, то числа равны 5a и 5b. чтобы среднее арифметическое 5(a + b)/2 было натуральным числом, a и b должны быть одинаковой чётности, поэтому b > = 5 * 3^2 = 45. проверкой убеждаемся, что a = 5, b = 45 — подходит под условие. попробуем найти меньшие b при d > 5. если db < 45, d > = 6 и b — полный квадрат, то b < 45/6, b < = 7. учитывая, что b не может быть равно 1^2, получаем, что b = 2^2 = 4, a = 1^2 = 1. 2d должно делиться на a + b = 5, d > 5. если d = 10, получаем решение a = 10, b = 40. если d > = 15, то b > = 60 > 45, уже не интересует. ответ. 40.

Афанасий афанасьевич фет – один из поэтов-лириков xix в. «это не просто поэт, а скорее поэт-музыкант», – писал о нем п. и. чайковский. он родился в 1820 г. в деревне новоселки, недалеко от мценска (орловская область), в семье богатого помещика. до 14 лет фет жил и учился дома, а затем в пансионе. в 1837 г. он поступает в московский университет на -филологический факультет.его поэтическое дарование ярко проявилось во время учения в университете. будучи студентом, он уже становится известным поэтом и печатается в журналах. по окончании университета фет поступил на военную службу и в течение девяти лет пробыл в глухих местах херсонской губернии.  с 1854 г. фет начинает сотрудничать в журнале «современник». но и в эту лучшую пору своей деятельности он не оказался в стане борцов за свободу и демократию, а выступил против них и вместе с группой писателей-дворян в 1859 г. покинул «современник». с этого момента фет окончательно отошел от общественной жизни и занялся помещичьим хозяйством и земскими делами. муза его продолжала служить идеалам любви и красоты, и он не замечал, как билась над решением сложнейших общенародных проблем.