При каком диаметре круга его площадь и длина окружности равны? а)1. б)2. в)3. г)4

площадь прямоугольника равна произведению его сторон (рис. 13.2.1):   s    =    a    ·    b  .

пусть  abcd  и  ab  1  c  1  d  – два прямоугольника с общим основанием  ad  (рис. 13.2.1).

пусть  s  и    – их площади. докажем, что      разобьем сторону  ab  прямоугольника на некоторое число  n  равных частей, каждая из которых равна      пусть  m  – число точек деления, которые лежат нa стороне  ab  1. тогда      отсюда, разделив на  ab  , получим        (*)

проведем через точки деления прямые, параллельные основанию  ad  . они разобьют прямоугольник  abcd  на  n  равных прямоугольников. каждый из них имеет площадь      прямоугольник    содержит первые  m  прямоугольника, считая от стороны  ad  , и содержится в  m    +  1 прямоугольниках. поэтому      отсюда      (**)

сравнивая неравенства (*) и (**), заключаем, что      при этом      и      – фиксированные числа, а  n  может быть выбрано сколь угодно большим. следовательно, неравенство возможно только при      возьмем теперь единичный квадрат, прямоугольник со сторонами 1,  a  и прямоугольник со сторонами  a  ,  b  (рис. 13.2.2). площадь прямоугольника со сторонами 1 и  a  обозначим    сравнивая их площади, по доказанному будем иметь      и      перемножая эти равенства почленно, получим  s    =    a    ·    b  . теорема доказана.