Докажите что при любом натуральном значении n значение выражения 21^n + 9 * 13^n - 2 * 5^n+1 кратно 8

Рассмотрим остатки от деления чисел 21, 13 и 5 на 8. они все равны 5. при возведении чисел 21, 13 и 5 в степень будем всегда иметь множители вида (6k+5)**(6k+5). поскольку 5^2 = 25, а 25/8 дает в остатке 1, то числа 21^n, 13^n и 5^n при четных n будут давать остатки равные  1, а при нечетных n, остатки равные  5. пусть сперва n четно, тогда 21^n = 8k+1, 9*13^n = 9*(8m + 1) = 72m + 9 и 2*5^(n+1) = 2*(8l + 5) = 16l + 10. тогда 21^n + 9*^3^n  - 2*5^(n+1) = 8k + 72m  - 16l + 1 + 9  - 10 = 8(k + 9m  - 2l), т.  е. кратно 8.  пусть теперь n нечетно. тогда 21^n = 8k + 5, 9*13^n = 9*(8m + 5) = 72m + 45 и 2*5^(n+1) = 2*(8l + 1) = 16l + 2. следовательно 21^n + 9*^3^n  - 2*5^(n+1) = 8k + 72m - 16l + 5 + 45 - 2 = 8(k + 9m - 2l) + 48 = 8(k + 9m - 2l +6), т. е. вновь кратно 8. т. о. выражение    21^n + 9*^3^n  - 2*5^(n+1) всегда кратно 8.

1) 83;

2) - 2 i 2

Розв'язання