Пусть s(n) — сумма цифр в десятичной записи числа n. найдите s(s(s(s(2018^2017).

Итак, , а s(n) - это сумма цифр числа. надо четыре раза подряд найти сумму цифр чисел, т.е. s(s(s(s( понятно, что невозможно сделать десятичную запись числа . оценим, сколько  цифр м.б. в таком числе: итак, если все цифры в числе будут 9, то их сумма будет не более, чем: опять считаем суммы цифр. пусть это будут девятки и их пять штук, то сумма не м.б. больше, чем: максимальная сумма цифр м.б. только у числа 39 и она равна 12 (у числа 45 сумма всего 9): наконец, приходим к выводу, что сумма не м.б. больше 9 (у числа 12 сумма цифр равна 3): из всего выше изложенного стало ясно, что если в нашем числе . четыре раза подряд просуммировать цифры, то результат не будет превышать 9! вроде бы ничего это нам не дала. однако вспомним теорему об остатках при делении на 3 (или на 9). остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления на 3 (или на 9) его суммы цифр. признак делимости на 3 (или на 9) в общем виде. теперь, зная это, мы можем найти остаток от деления числа на 9, тем самым мы узнаем, какой остаток будет от деления суммы цифр на 9. а это и будет ответ. представим число 2018 = 2016 + 2, как сумму двойки и числа 2016, которое делится на 9 без остатка. затем (2016 + 2) возведём в степень 2017 и распишем результат в виде бинома ньютона. все слагаемые, кроме последнего , делятся на 9 без остатка (туда входит число 2016). преобразуем число , чтобы появилась 9, затем разложим по формуле бинома ньютона: в полученной сумме все слагаемые, кроме последнего, делятся на 9. а последнее слагаемой и есть остаток, и он равен 2. т.о. искомая сумма цифр равна: ответ: 2

весь класс - 100%

1 ученик - 4% из 100%

1) 100: 4=25(учеников)