Найти частное решение дифференциального уравнения,удовлетворяющее данным начальным условиям. y"-6y'- 25y= 9sin4x-24cos4x y(0)=2, y'(0)=-2

решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка

y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях  y(0)=1,y′(0)=4

алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка

1. решаем однородное уравнение  y′′+2y′+2y=0решение будем искать в виде  y=eλx, тогда  y'=λeλx; y''=λ2eλx.  подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение 

λ2eλx+2λeλx+2eλx=0=> сокращаем на  eλx, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)  λ2+2λ+2=0=>   найдем корни характеристического уравнения  λ1,2=−2±4−8−−−−√2=> λ1=−1−i; λ2=−1+i получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения  y1(x)=e−xcos(x); y2(x)=e−xsin(x) общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация  yодн=c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)

2. решаем неоднородное уравнение  y′′+2y′+2y=2x2+8x+6найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной  c1=c1(x); c2=c2(x)  в виде  yчаст(x)=c1(x)e−xcos(x)+c2(x)e−xsin(x)(1). 

для нахождения функций  c1(x); c2(x), подставим результаты в систему с учетом  y′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x))y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))

⎧⎩⎨⎪⎪c'1(x)y1(x)+c'2(x)y2(x)=0c'1(x)y'1(x)+c'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаем {c'1(x)e−xcos(x)+c'2(x)e−xsin(x)=0c'1(x)(−e−x(cos(x)+sin(+c'2(x)(e−x(cos(x)−sin(=2x2+8x+6=> {c'1(x)cos(x)+c'2(x)sin(x)=0−c'1(x)(cos(x)+sin(x))+c'2(x)(cos(x)−sin(x))=(2x2+8x+6)ex решаем систему уравнений методом крамера и находим интегралы. c1(x)=∫∣∣∣0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx= =∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx= =∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx= =−∫sin(x)(2x2+8x+6)exdx= =−ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))

c2(x)=∫∣∣∣cos(x)  cos(x)+sin(x)0  (2x2+8x+6)ex  ∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx= =∫cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx= =∫cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx= =∫cos(x)(2x2+8x+6)exdx= =ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x)) 

подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения 

yчаст=    −ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))∗e−xcos(x)+ +ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))∗e−xsin(x)= =x(x+2)cos2(x)+x(x+2)sin2(x)  =  x2+2x     

3. получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида   yоб=yодн+yчаст  подставляем результаты из п.1,п.2

yоб=  c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)+  x2+2x

4. решаем коши при начальных условиях    y(0)=1,y′(0)=4  находим значения констант при заданных начальных условиях кошинаходим значение функции при условии  y(0)=1

yоб(0)=  c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)+  x2+2x=1=>   c1  =1 находим производную  y′(x) y′об=  c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)+  x2+2x= =−c1e−xcos(x)−c1e−xsin(x)−c2e−xsin(x)+c2e−xcos(x)+2x+2 при условии  y′(0)=4 y′об(0)  =−c1+c2+2=4 составляем систему уравнений и решаем ее {c1=1−c1+c2=2=>   {c1=1c2=3  подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях коши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+  x2+2x  ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию каши  yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+  x2+2x

Фермер собрал с первой грядки 25 кг клубники, со второй на 1 кг меньше, затем отвез в магазин на продажу 35 кг клубники. сколько кг клубники фермер оставил себе?