Найти частное решение дифференциального уравнения,удовлетворяющее данным начальным условиям. y"-6y'- 25y= 9sin4x-24cos4x y(0)=2, y'(0)=-2

111

413

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

1326237416414

Математика

4,4(99 оценок)

решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка

y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4

алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка

1. решаем однородное уравнение y′′+2y′+2y=0решение будем искать в виде y=eλx, тогда y'=λeλx; y''=λ2eλx. подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение

λ2eλx+2λeλx+2eλx=0=> сокращаем на eλx, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений) λ2+2λ+2=0=> найдем корни характеристического уравнения λ1,2=−2±4−8−−−−√2=> λ1=−1−i; λ2=−1+i получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения y1(x)=e−xcos(x); y2(x)=e−xsin(x) общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация yодн=c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)

2. решаем неоднородное уравнение y′′+2y′+2y=2x2+8x+6найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной c1=c1(x); c2=c2(x) в виде yчаст(x)=c1(x)e−xcos(x)+c2(x)e−xsin(x)(1).

для нахождения функций c1(x); c2(x), подставим результаты в систему с учетом y′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x))y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))

⎧⎩⎨⎪⎪c'1(x)y1(x)+c'2(x)y2(x)=0c'1(x)y'1(x)+c'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаем {c'1(x)e−xcos(x)+c'2(x)e−xsin(x)=0c'1(x)(−e−x(cos(x)+sin(+c'2(x)(e−x(cos(x)−sin(=2x2+8x+6=> {c'1(x)cos(x)+c'2(x)sin(x)=0−c'1(x)(cos(x)+sin(x))+c'2(x)(cos(x)−sin(x))=(2x2+8x+6)ex решаем систему уравнений методом крамера и находим интегралы. c1(x)=∫∣∣∣0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx= =∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx= =∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx= =−∫sin(x)(2x2+8x+6)exdx= =−ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))

c2(x)=∫∣∣∣cos(x) cos(x)+sin(x)0 (2x2+8x+6)ex ∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx= =∫cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx= =∫cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx= =∫cos(x)(2x2+8x+6)exdx= =ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))

подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения

yчаст= −ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))∗e−xcos(x)+ +ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))∗e−xsin(x)= =x(x+2)cos2(x)+x(x+2)sin2(x) = x2+2x

3. получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида yоб=yодн+yчаст подставляем результаты из п.1,п.2

yоб= c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)+ x2+2x

4. решаем коши при начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4 находим значения констант при заданных начальных условиях кошинаходим значение функции при условии y(0)=1

yоб(0)= c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)+ x2+2x=1=> c1 =1 находим производную y′(x) y′об= c1e−xcos(x)+c2e−xsin(x)+ x2+2x= =−c1e−xcos(x)−c1e−xsin(x)−c2e−xsin(x)+c2e−xcos(x)+2x+2 при условии y′(0)=4 y′об(0) =−c1+c2+2=4 составляем систему уравнений и решаем ее {c1=1−c1+c2=2=> {c1=1c2=3 подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях коши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию каши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x

tanyaprokudina

Математика

4,8(23 оценок)

Фермер собрал с первой грядки 25 кг клубники, со второй на 1 кг меньше, затем отвез в магазин на продажу 35 кг клубники. сколько кг клубники фермер оставил себе?

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.