Есть кучка из 2017 камней. петя и вася по очереди берут из неё камни (начинает петя). разрешается брать строго меньше половины от текущего числа камней. проигрывает тот, кто не может сделать ход. кто выиграет?

273

317

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ssha2

Математика

4,5(45 оценок)

Посмотрим, какое количество камней могло остаться в конце игры: такое, что половина этого количества ≤ 1 (иначе можно взять 1 камень и это будет не конец игры). то есть могло остаться 0, 1 или 2 если осталось 0 (или 1), то на предыдущем ходе количество камней было меньше, чем 0 * 2 = 0 (или 1 * 2 = 2), то есть < 0 камней (1 камень), чего быть не могло. значит осталось 2 камня. теперь мы знаем, что тот, кому после очередного хода выпала кучка с 2 камнями, проигрывает. значит тот, кому выпала кучка с более, чем 2 камнями, но менее, чем с 2 * 2 - выигрывает (это кучка из 3 камней. он берет 1 камень и выигрывает). проводя аналогичные рассуждения мы увидим, что тот, кому выпадает кучка с 4 камнями - проигрывает (единственный возможный ход - взять 1 камень, что приводит к 3 камням, а тот, кто начинает с кучки из 3 камней выигрывает). можно бы было дальше посмотреть, что тот, у кого в кучке 8 камней проиграет, а тот, у кого в кучке 5 .. 7 камней - выиграет. но мы остаток докажем методом индукции. пытаемся доказать предположение, что тот, кому попалась кучка из (n строго больше 1) элементов проиграет, а тот, кому попалась кучка с числом камней, не равным степени 2 - выигрывает. база индукции у нас уже есть. предположим, что тот, у кого выпало камней - проигрывает, а - выигрывает. докажем, что тот, кому выпало камней выиграет, а тот, кому выпало камней - проиграет. 1) пусть выпало камней, . тогда мы можем взять эти l камней. дейтсвительно, из того, что следует, что итак, оппонент после этого хода попадает на кучку из камней и, по предположению индукции, проигрывает 2) пусть выпало камней. тогда можно взять любое количество от 1 до (так как ровно в 2 раза меньньше, чем , а по условию можно взять строго меньше, чем в 2 раза). тогда мы получим кучку с количеством камней от до начиная с которой по пункту 1) этого доказательства оппонент выигрывает. что и требовалось доказать. таким образом, так как 2017 - это не степень двойки, то начиная с 2017 петя победит. его стратегия - забирать камни так, чтобы в кучке оставалось число камней, являющееся точной степенью 2.

bavara89

Математика

4,7(62 оценок)

Наибольшее двухзначное 99*344=34056 а = 1 или 2. 14568: 344=42,35 24568: 344=71,42 наибольшее 2

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.