Коля задумал четыре числа и выписал на доске пять из шести их попарных сумм. это оказались числа: 17, 19, 20, 24, 26. найдите шестую сумму (перечислите все возможности и объясните, почему других вариантов нет).

обозначим задуманные 4 числа через a, b, c и d и положим a ≤ b ≤ c ≤ d. сумма всех шести попарных сумм будет равна a + b + a + c + a + d + b + c + b + d + c + d = 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a + b +c + d). поскольку на доске было выписано только 5 попарных сумм, то их сумма будет на одну попарную сумму меньше. пусть, для определенности это сумма a + b. тогда сумма пяти попарных сумм будет равна 3(a + b + c + d) - (a + b) = 3(c + d) + 2(a + b) = 17 + 19 + 20 + 24 + 26 = 106. рассмотрим остатки от деления данных чисел на 3. это остатки 0, 1 и 2. отсюда видно, что только число 24, а также суммы 17 + 19, 19 + 20, 26 + 19, 19  + 20 + 24, 19 + 24 + 26, 17 + 19 + 24 и 17 + 20 + 26 будут кратными 3. пусть вначале 3(c + d) = 24, тогда c + d = 24/3 = 8 и 2(a + b) = 106 - 24 = 82, откуда a + b = 82/2 = 41. обоих сумм нет в нашем списке, а это невозможно, поскольку у нас не хватает лишь одной попарной суммы. пусть  теперь 3(c + d) = 19 + 20 = 39. тогда c + d = 39/3 = 13 и 2(a + b) = 106 - 39 = 67, откуда a + b = 67/2 = 33,5, что невозможно. пусть 3(c + d) = 26 + 19 = 45, тогда c + d = 45/3 = 15, а 2(a + b) = 106 - 45 = 61, откуда a + b = 61/2 = 30,5, что также невозможно. пусть теперь 3(c + d) = 17 + 19 = 36. отсюда c + d = 36/3 = 12 и 2(a + b) = 106 - 36 = 70, откуда a + b = 70/2 = 35. получили две попарные суммы 12 и 35, которых нет в списке попарных сумм. такое также невозможно, поскольку у нас в списке отсутствует лишь одна попарная сумма. теперь примем 3(c + d) = 19 + 20 + 24 = 63, отсюда c + d = 63/3 = 21. тогда 2(a + b) = 106 - 63 = 43 и a + b = 432 = 21,5, что невозможно. пусть 3(c + d) = 19 + 24 + 26 = 69. тогда c + d = 69/3 = 23, а 2(a + b) = 106 - 69 = 37, откуда a + b = 37/2 = 18,5, что также невозможно. рассмотрим сумму 3(c + d) = 17 + 20 + 26 = 63, отсюда c + d = 63/3 = 21 и 2(a + b) = 106 - 63 = 43, откуда a + b = 43/2 = 21,5, что невозможно. пусть, наконец, 3(c + d) = 17 + 19 + 24 = 60, тогда c + d = 60/3 = 20. эта сумма имеется у нас в списке. в свою очередь 2(a + b) = 106 - 60 = 46, откуда a + b = 46/2 = 23. эта попарная сумма у нас отсутствует. теперь легко получаем оставшиеся попарные суммы. a + b = 23, c + d = 20. отсюда a + b + c + d = 23 + 20 = 43. тогда (a + c) + (b + d) = 43. замечаем, что одно из чисел a или b нечетное, тогда как c и d либо оба четные, либо оба нечетные. положим a + c = 17, b + d = 26. тогда c и d у нас оба четные, так же, как и b. далее из равенства a + b + c + d = 23 + 20 = 43 следует, что (a + d) + (b + c) = 43, откуда a + d = 19, b  + c = 24. т. о. получили все попарные суммы. шестой отсутствующей попарной суммой является сумма a + b = 23 и это единственный возможный вариант из рассмотренных.

ответ: 23.

Однозначно, будет две банки, в одной из которых будет больше всего штук, а в другой меньше всего штук. (их будет по одной, их не выпьет карлсон) всех других банок будет, как минимум, по две. карлсон будет выпивать те, которые парами, значит, не тронет частью те, которые будут в нечетном количестве (если банки, к примеру 3 штуки, дае он выпьет, а третью оставит, как беспарную) посчитаем, какое максимальное количество таких нечётных групп может быть в наших 50ти банках. 2 уже точно есть (самая маленькая и самая большая) остаиок разделим на следующее минимальное нечетное число 3. (50-2): 3=16 видов банок по 3. из них, как писала выше, выпьет по 2, по 1 оставит, значит, всего останется 1+1+16=18 банок- максимум не выпьет. 50-18=32 банки минимум выпьет, что и требовалось доказать.