Около четырехугольника abcd можно описать окружность.точка p-основание перпендикуляра,опуденного из точки a на прямую bc, q-из a на dc,r-из d на ab и t-d b.c..докажите что точки p,q,r и t лежат на одной окружности

  достаточно доказать, что  rptq  – равнобокая трапеция. четырёхугольник  ardq  – вписанный, поэтому   ∠rqd  = ∠dar.  также, поскольку четырёхугольник  abcd    – вписанный, то   ∠bcd  = 180° – ∠dar.  cледовательно,   ∠rqd  + ∠bcd  = 180°,  то есть прямые  pt  и  rq  параллельны.

  докажем теперь, что в трапеции  rptq  диагонали равны. четырёхугольник  apcq  вписан в окружность с диаметром  ac, поэтому  pq = ac·sin∠bcd.  aналогично,   rt = bd·sin∠abc.  но из вписанности четырёхугольника  abcd  следует, что      значит,   pq = rt,  то есть трапеция – равнобокая.

Объяснение:

Выясним соотношения между катетами и гипотенузой треугольника. Пусть гипотенуза равна 2х, тогда один катет  равен х(тот, что лежит против угла в 30гр.), а другой 2х · cos 30 = 2x·0.5√3 = x√3/

Радиус вписанной в прямоугольник окружности равен

r = ( a + b - c):2, где а и b -катеты, а с - гипотенуза.

r = ( х + х√3 - 2х):2 = 0,5х(√3 - 1)

0,5х(√3 - 1) = 4

Отсюда х = 8/(√3 - 1)

Периметр треугольника: Р = 2х + х + х√3 = х(3 + √3). Полупериметр р = 0,5х(3 + √3)

Площадь треугольника S = r·p = 4·0,5х(3 + √3) = 2х(3 + √3)

Подставим х = 8/(√3 - 1) и получим

S = 2·(3 + √3)·8/(√3 - 1)

S = 16√3·(√3 + 1)/(√3 - 1)

Подробнее - на -