Найдите все тройки натуральных чисел x,y и z, для которых 4(x+y+z)=xy+yz+zx

поскольку равенство симметрично, можно без ограничения общности считать, что x ≤ y ≤ z. положим y =  x + k, а z =  x + m, где k и m -  неотрицательные целые. тогда 4(x + y + z) = xy + yz + zx => 4(x + x + k + x + m) = x*(x + k) + x*(x + m) + (x + k)*(x + m) => 4(3x + k + m) = x^2 + kx + x^2 + mx + x^2 + mx + kx + km => 12x + 4(k + m) = 3x^2 + 2x(k + m) + km => 3x^2 + 2x(k + m) - 12x + km - 4(k + m) = 0  => 3x^2 + (2(k + m) - 12)x + km - 4(k + m) = 0. получили квадратное относительно x уравнение. находим дискриминант: d = (2(k + m) - 12)^2 - 12(km - 4(k + m)) = 4k^2 + 4km + 4m^2 - 48k - 48m + 144 - 12km + 48k + 48m = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. поскольку x у нас натуральное, дискриминант должен являться полным квадратом. сразу видим, что поскольку 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2, то при k = m, d = 144. тогда наше решение будет x(1,2) = (k + m) - 12) ± √144)/6, отсюда x1 = (12 + 12 - 2(k + m))/6 = (24 - 2(k+m))/6 = (24 - 4k)/6. отсюда видно, что x1  будет натуральным при k = 0 и  k = 3. его значения будут равны соответственно x1 = 4 и  x1 = 2. второй корень  x2 =   (12  - 12 - 2(k + m))/6 = -(k + m)/3 отрицательный и нам не подходит. тогда, в случае k = m, имеем следующие наборы возможных решений (x, y, z) = (4, 4, 4), (x, y, z) = (2, 5, 5). непосредственной проверкой убеждаемся, что  решение (2, 5, 5) нам не подходит. т. о. в случае, когда k = m имеем одно решение x = y = z = 4. обратимся снова к дискриминанту: d = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. пусть теперь k ≠ m.  рассмотрим выражение  4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2 = 4(k - m)*(k - m). как было сказано выше, d в нашем случае должен являться полным квадратом. т. е. d = 4(k - m)*(k - m) + 144 = a^2 =>   4(k - m)*(k - m) = a^2 - 144 = (a - 12)*(a + 12). отсюда имеем всего одну возможность: a - 12 = k - m и a + 12 = 4(k - m) = 4(a - 12) => 4a - a = 48 + 12 => 60 = 3a => a = 60/3 = 20. т.  о. дискриминант d = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144 = 20^2 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) + 144 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) = 256 => k^2 + m^2 - 2km = 256/4 = 64 => (k - m)^2 = 64 => k - m = 8 и k = m  + 8. т. о. при неотрицательных целых m, нам подходят  k = m + 8. ввиду симетрии уравнения, обратное ведет к одинаковым решениям.  общее решение имеет вид  x(1,2) = (k + m) - 12) ± √400)/6. рассмотрим граничные значения k и m, при которых дискриминант остается неотрицательным. d ≥ 0 при |12 - 2(k + m)| ≤ 20. этому условию соответствуют пары (k, m) = (8, 0), (9, 1), (10, 2), (11, 3) и (12, 4). соответствующие значения x будут 16/6, 2, 8/6, 2/3 и 0. из этих значений x  нам подходит лишь одно x = 2. при x = 2,  y = x+ k = 2 +9 = 11, z = x + m = 2 + 1 = 3 и мы  получаем тройку (x, y, z)  = (2, 11, 3). проверим это решение. левая часть  уравнения 4(x + y + z) = xy + yz + zx   является четным числом, тогда как правая при нечетных y и z будет нечетной. следовательно, данное решение нам не подходит. т. о. получаем, что единственным решением данного уравнения является тройка чисел (x, y, z) = (4, 4, 4).

ответ: (x, y, z) = (4, 4, 4).

Пусть двузначное число записано цифрами х и у. х+у=10 это число содержит х десятков и у единиц, поэтому оно равно 10х+у. число, цифры которого переставлены, содержит у десятков и х единиц, поэтому оно равно 10у +х, но так как цифра единиц увеличена на 1, то получим (10у+х+1). это число в два раза больше первоначального (10х+у). составляем уравнение 10у+х+1=2(10х+у) решаем систему двух уравнений х+у=10 10у+х+1=2(10х+у) выражаем у из первого уравнения и подставляем во второе у=10-х 10(10-х)+х+1=2(10х+10-х) 100 - 10х + х + 1= 20х + 20 - 2х -27х =-81 х=3 у=10-3=7 это число 37. о т в е т. 37. число 37=30 +7 если цифры переставить получим 73= 70+3 цифру единиц увеличиваем на 1, получаем 74 74 в два раза больше чем 37