Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. доказать, что ее высота равна средней линии.

пусть m и n, это середины оснований bc и ad равнобедренной трапеции abcd с перпендикулярными диагоналями ac и bd, k и l — середины боковых сторон ab и cd. тогда km || ac || ln, ml || bd || kn, поэтому четырехугольник kmln — прямоугольник. значит, kl = mn,  но kl — средняя линия трапеции, а mn — высота.средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме. доказательство пусть abcd – данная трапеция. проведем через вершину b и середину n боковой стороны cd прямую, пересекающую прямую ad в точке f . треугольники bcn и fdn равны по теореме 4.2, так как cn = nd, bcn = ndf как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ( bc ) и ( ad ) и секущей ( cd ). cnb = dnf как вертикальные. из равенства треугольников следует равенство сторон: bn = nf, bc = df . средняя линия трапеции mn является средней линией треугольника abf и по теореме 4.12 ( mn ) || ( ad ) || ( bc ) и теорема доказана.

Все грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60 градусов, значит апофемы граней равны, а вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание пирамиды окружности. апофема находится по пифагору из прямоугольного тр-ка, в котором она является гипотенузой, а катетом, лежащим против угла 30°, является радиус вписанной в основание (прямоугольный треугольник) окружности. формула радиуса: r=(a+b-c)/2. найдем гипотенузу основания с по пифагору: с= √(36+9) =  √45 =3√5. вычислим по формуле радиус r = (9-3√5)/2. тогда апофема (из выше) равна: h = (9-3√5). площадь боковой поверхности s= (1/2)*h*p, где h - апофема, а р - периметр основания. s=[(9-3√5)*(9+3√5)]/2. или s=(81-45)/2= 18см².