Докажите, что если диагонали четырехугольника равны и точкой пересечения делятся пополам,то такой четырехугольник-прямоугольник.

Возьмем четырехугольник abcd и проведем диагонали ac и bd, пересекающиеся в точке o. пусть для этого четырехугольника выполнено условие "диагонали четырехугольника равны и точкой пересечения делятся пополам" тогда ao=oc=¹/₂ac и bo=od=¹/₂bd  (так как o - середина ac и bd), а также ac=bd. значит ao=oc=bo=od. треугольники aob и doc равны, так как do=ao, bo=oc,  ∠aob=∠doc (как вертикальные углы при пересечении ac и bd), а кроме этого aob и doc - равнобедренные треугольники, а значит  ∠odc=∠ocd=∠oab=∠oba=α. аналогичным способом для треугольников aod и boc получаем: ∠oad=∠oda=∠obc=∠ocb=β. рассмотрим треугольник bcd. ∠dbc=β,  ∠bdc=α,  ∠bcd=∠bco+∠dco=α+β сумма углов этого треугольника равна  α+β+(α+β)=2α+2β сумма углов треугольника равна 180°, поэтому 2α+2β=180 α+β=90=∠bcd кроме того заметим, что каждый из углов  ∠cba, ∠bad, ∠adc равен  α+β, а значит все эти три угла прямые. так как мы показали, что все 4 угла четырехугольника abcd прямые, то мы доказали, что abcd - прямоугольник.

9*26=234 книг. 234+56=290 всего книг стало.