Найдите седьмое по счету неотрицательное число n такое, что число 20^(n)+16^(n)−3^(n)−1 делится на 323.

323 = 17 * 19, поэтому число должно одновременно делиться на 17 и 19. заметим, что если раскрывать скобки в выражении (a + b)^n, то получится (a^n + n a^(n - 1) b + + b^n — разложение по биному ньютона, где каждое слагаемое в скобках делится на a.  значит, (a + b)^n даёт такой же остаток при делении на a, что и b^n. используем это наблюдение. представим выражение в виде (17 + 3)^n + (17 - 1)^n - 3^n - 1. по написанному выше это выражение даёт такой же остаток при делении на 17, что и 3^n + (-1)^n - 3^n - 1 = (-1)^n - 1. для нечётных n последнее выражение равно -2, для чётных — 0. значит, выражение делится на 17 при чётных n и не делится при нечётных. тот же трюк с делимостью на 19: (19 - 1)^n + (19 - 3)^n - 3^n - 1  ≡ (-1)^n + (-3)^n - 3^n - 1. нечётные n нас уже не интересуют, а при чётных n последнее выражение равно 0, так что исходное выражение делится на n. суммируем: выражение делится на 323 при чётных n (и только при таких n). значит, подходят n = 0, 2, 4, седьмое число в этом ряду равно 12. ответ. 12.

323 это 17*19 логично что если любое a кратно 17 и a кратно 19 то a кратно 323, потому что 17, 19- просты числа с этим надеюсь понятно и еще вспомним то что если a кратно m и b кратно m, то и a+b кратно m и с этим надеюсь все поняно   найдем при каких n  20^(n)+16^(n)−3^(n)−1  кратно 19 и 17 одновременно  разложим  20^(n)+16^(n)−3^(n)−1 двумя способамисначала сгруппируем так[ 20^(n)-1 ] + [ 16^(n)-3^(n)  ] используя ньютона-бинома это легко раскладывается так 19[ 20^(n-1)+20^(n-2)++20+1 ] + 13[ 16^(n-1)+16^(n-2)*3++16*3^(n-2)+3^(n-1)  ] заметим что [  20^(n)-1 ]  кратно 19 при любом n  осталось посмотреть при каких n [ 16^(n)-3^(n)  ] кратно 19 13[ 16^(n-1)+16^(n-2)*3++16*3^(n-2)+3^(n-1)  ] ну 13 ничего не решает так что отбросим его  16^(n-1)+16^(n-2)*3++16*3^(n-2)+3^(n-1) ну если все сгруппировать по 2 соседние, т.е. 16^(n-1) c 16^(n-2)*3 ну и так далее и там будет 16^(в какой то стпени)(16+3)  или начиная с середины когда степень 3 будет больше степени 16  3^(в какой то стпени)(16+3)  если n будет четно то все сгруппируется, а если n будет нечетное то в конце останется 3^(n-1) ну и если сделать то же самое но сгруппировать    [ 20^(n)−3^(n) ] + [ 16^(n)−1 ] то мы докажем тоже самое но только для 17 ну и получается  n=0; 2; 4; 6; n₇=12

1)250: 4=62,5(руб)-1 кг

2)100: 62,5=1,6(кг)-можно купить

ответ: на 100 руб можно купить 1 кг 600 гр печенья