Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину a(0; 2) и уравнения высот x+y-4=0 и y=2x, где m-точка пересечения высот.

Вершина  а(0,2) , высота вн (bm):   х+у-4=0    ⇒  х+у=4 , высота сk (cm):   у=2х    ⇒  2х-у=0. точка а(0,2) не принадлежит ни одной из высот, т.к. при подстановке её координат в уравнения высот не получаем верные равенства: х+у=0+2=2≠4 у=2х    ⇒  2х=2·0=0≠2 . найдём координаты точки пересечения высот, точки м: высота вн имеет нормальный вектор n₁=(1,1). он является для стороны ас направляющим вектором s₁=(1,1) . тогда уравнение ас: высота ск имеет нормальный вектор n₂=(2,-1). он явл. направляющим вектором для стороны ав: чтобы найти уравнение стороны вс, надо знать координату одной точки на вс, например точки в или с, и вектор нормальный или направляющий. мы можем найти нормальный вектор для вс, это будет вектор ам, т.к.  точка м  - точка пересечения высот. найдём координаты точки в как точку пересечения высоты вн и стороны ав:

возведем обе части в квадрат

|a²+c²|+|b²+d²|+2√(a²+c²)(b²+d²)≥|(a+b)² +(c+d)²|

a²+c² +b²+d²+2√(a²+c²)(b²+d²)≥a²+2ab+b²+c²+2cd+d²

2√(a²+c²)(b²+d²)≥2ab+2cd

2√(a²+c²)(b²+d²)≥2(ab+cd)

√(a²+c²)(b²+d²)≥ab+cd      возведём ещё в квадрат

|(a²+c²)(b²+d²)|≥(ab+cd)²

(a²+c²)(b²+d²)≥(ab+cd)²

a²b²+a²d²+c²b²+c²d²≥a²b²+2 abcd+c²d²

a²d²+c²b²-2abcd≥0

(ad+cb)²≥0  верно