Множество реальных чисел между 0 и 1 «меньше чем», «соразмерно», или «больше чем» множество рациональных чисел? +доказать

166

500

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

gasanova683

Математика

4,5(8 оценок)

Бутем пользоваться терминологией мощности множества. множество a называется счетным, если можно построить взаимооднозначное соответствие его элементов с элементами множества натуральных чисел и несчетным, если его построить нельзя. утверждение 1. объединение двух счетных множеств счетно. доказательство: пусть есть множества запишем их объединение как и пронумеруем их: номер равен 2i-1 номер равен 2i если в этих множествах есть повторяющиеся - уберем повторения и уменьшим номера последующих построили взаимооднозначное соответствие и доказали утверждение. утверждение 2. объединение конечного и счетного множества счетно. доказательство еще более очевидно, чем в первом - поставим сначала все элементы конечного множества (которых нет в счетном), а затем все из счетного и пронумеруем. утверждение 3. множество рациональных чисел счетно. докажем, что множество неотрицательных рациональных чисел счетно. тогда множество неположительных рациональных чисел также счетно и их объединение будет счетным. доказательство: выпишем таблицу в которой в строке i будут находиться числа со знаменателем i, а в столбце j будут находиться числа с числителем j-1 пронумеруем "по диагоналям" сначала левый верхний элемент, затем элемент, стоящий справа от него, затем по диагонали влево вниз все элементы, затем элемент стоящий в первой строке на 3 месте и вниз по диагонали и так далее. получили последовательность 0/1 1/1 0/2 2/1 1/2 0/3 3/1 пронумеровали все элементы, но есть повторяющиеся - выкинем их. осталось 0 1 2 1/2 3 1/3 4 3/2 2/3 1/4 опять таки пронумеровали, только уже все множество неотрицательных рациональных чисел без повторений, чем доказали его счетность утверждение 4. можно построить взаимозначное соответствие элементов множеств действительных чисел сегмента [0; 1] и бесконечных последовательностей из 0 и 1. доказательство заключается в том, что действительное число можно представить как в виде бесконечной десятичной дроби, так и бесконечной двоичной. теорема. множество бесконечных последовательностей 0 и 1 несчетно. доказательство: допустим обратное. тогда можно записать в виде последовательности каждый элемент этой последовательности - последовательность 0 и 1, то есть можно записать в виде тогда число, составленное из элементов, стоящих на главной диагонали и число обратное к нему (обратное в смысле, что если на некоторой позиции у элемента стоит k, то у обратного 1-k) тоже здесь есть, но у обратного: на позиции t стоит стоит обратный. противоречие. отсюда множество рациональных чисел счетно, а действительных от 0 до 1 - несчетно. в терминах условия "множество реальных чисел от 0 до 1 больше, чем множество рациональных чисел"

Kotazzz

Математика

4,7(63 оценок)

27.5 см30дм40дм100см

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.