Множество реальных чисел между 0 и 1 «меньше чем», «соразмерно», или «больше чем» множество рациональных чисел? +доказать

Бутем пользоваться терминологией мощности множества. множество a называется счетным, если можно построить взаимооднозначное соответствие его элементов с элементами множества натуральных чисел и несчетным, если его построить нельзя. утверждение 1. объединение двух счетных множеств счетно. доказательство: пусть есть множества запишем их объединение как и пронумеруем их: номер  равен 2i-1 номер  равен 2i если в этих множествах есть повторяющиеся - уберем повторения и уменьшим номера последующих построили взаимооднозначное соответствие и доказали утверждение. утверждение 2. объединение конечного и счетного множества счетно. доказательство еще более очевидно, чем в первом - поставим сначала все элементы конечного множества (которых нет в счетном), а затем все из счетного и пронумеруем. утверждение 3. множество рациональных чисел счетно. докажем, что множество неотрицательных рациональных чисел счетно. тогда множество неположительных рациональных чисел также счетно и их объединение будет счетным. доказательство: выпишем таблицу в которой в строке i будут находиться числа со знаменателем i, а в столбце j будут находиться числа с числителем j-1 пронумеруем "по диагоналям" сначала левый верхний элемент, затем элемент, стоящий справа от него, затем по диагонали влево вниз все элементы, затем элемент стоящий в первой строке на 3 месте и вниз по диагонали и так далее. получили последовательность 0/1 1/1 0/2 2/1 1/2 0/3 3/1 пронумеровали все элементы, но есть повторяющиеся - выкинем их. осталось 0 1 2 1/2 3 1/3 4 3/2 2/3 1/4 опять таки пронумеровали, только уже все множество неотрицательных рациональных чисел без повторений, чем доказали его счетность утверждение 4. можно построить взаимозначное соответствие элементов множеств действительных чисел сегмента [0; 1] и бесконечных последовательностей из 0 и 1. доказательство заключается в том, что действительное число можно представить как в виде бесконечной десятичной дроби, так и бесконечной двоичной. теорема. множество бесконечных последовательностей 0 и 1 несчетно. доказательство: допустим обратное. тогда можно записать в виде последовательности каждый элемент этой последовательности - последовательность 0 и 1, то есть можно записать в виде тогда число, составленное из элементов, стоящих на главной диагонали  и число обратное к нему (обратное в смысле, что если на некоторой позиции у элемента стоит k, то у обратного 1-k) тоже здесь есть, но у обратного: на позиции t стоит стоит обратный. противоречие. отсюда множество рациональных чисел счетно, а действительных от 0 до 1 - несчетно. в терминах условия "множество реальных чисел от 0 до 1 больше, чем множество рациональных чисел"

27.5 см30дм40дм100см