Даны координаты вершин пирамиды а1 а2 а3 а4. построить пирамиду. найти: 1) длину ребра а1 а2; 2) угол между ребрами а1 а2 и а1 а4; 3) площадь грани а1а2а3; 4) объем пирамиды. а1( 2; -2; 1 ) а2(10; 2; 2 ) а3( 6; 1; 2 ) а4 ( 8; 4; 4 )

Даны координаты пирамиды: a1(2,-2,1), a2(10,2,2), a3(6,1,2), a4(8,4,4) 1) координаты векторов. координаты векторов находим по формуле: x = xj   - xi; y = yj   - yi; z = zj   - zi здесь x,y,z координаты вектора; xi, yi, zi   - координаты точки аi; xj, yj, zj   - координаты точки аj; например, для вектора a1a2 x = x2   - x1; y = y2   - y1; z = z2   - z1 x = 10-2; y = ); z = 2-1 a1a2(8; 4; 1) a1a3(4; 3; 1) a1a4(6; 6; 3) a2a3(-4; -1; 0) a2a4(-2; 2; 2) a3a4(2; 3; 2) модули векторов   (длина ребер пирамиды) длина вектора a(x; y; z) выражается через его координаты формулой: |a| =  √(x²+y²+z²). длина ребра а1а2 равна: а1а2 =  √((8² +  4² + 1²) =  √(64 + 16 + 1)  =  √81 = 9. 2)  найдем угол между ребрами a1a2(8; 4; 1) и a1a4(6; 6; 3): cos  α = (8*6+4*6+1*3)/(9*9) = (48+24+4)/81 = 76/81 =  0,925926.  α = arccos(0.925926) =  0,387317 радиан =  22,19161°.   3) площадь грани а1а2а3. площадь грани можно найти по формуле: s = (1/2)*|a|*|b|*sin α, где sin  α =  √(1 - cos²α). найдем площадь грани a1a2a3 найдем угол между ребрами a1a2(8; 4; 1) и a1a3(4; 3; 1): cos  α = (8*4+4*3+1*1)/(9*√26) =  45/45,89118  = 0,980581.sin  α =  √(1 -    0,980581²) =  0,196116.площадь грани a1a2a3 равна: s = (1/2)*9*√26* 0,196116 = 4,5 кв.ед. найдем площадь грани с учётом смысла векторного произведения: векторное произведение:   i        j        k8        4        14        3        1    = = i(4*1-3*1) - j(8*1-4*1) + k(8*3-4*4) = i - 4j + 8k. s = (1/2)*√(1²+4²+8²) = (1/2)*√81 = 4,5 кв.ед. 4) объем пирамиды. объем пирамиды, построенный на векторах a1(x1; y1; z1), a2(x2; y2; z2), a3(x3; y3; z3) равен:                 x1    y1      z1  (1/6)*    x2      y2      z2              x3      y3    z3 =             = 8        4      1              4          3      1              6        6      3 находим определитель матрицы ∆ = 8*(3*3-6*1)-4*(4*3-6*1)+6*(4*1-3*1) = 6. v = (1/6)*6 = 1 куб.ед.

Никитин Никитин Никитин