Дан параллелограмм abcd, три вершины которого заданы (4; -5; 2) (2; -3; -4) (-3; 6; -3). найти координаты четвертой вершины, величину острого угла параллелограмма и его площадь. найти координаты точки s, симметричной точки d относительно начала координат. найти объем пирамиды abcs.

Находим координаты точки о - точки пересечения диагоналей параллелограмма. это середина ас: хо = (4-3)/2 = 1/2, уо = (-5+6)/2 = 1/2, zo = (2-3)/2 = -1/2. теперь определяем координаты точки д, как симметричной точке в относительно точки о. хд = 2хо - хв = 2*(1/2) - 2 = 1 - 2 = -1, уд = 2уо - ув = 2*(1/2) - (-3) = 1 + 3 = 4, zд = 2zо - zв = 2*(-1/2) - (-4) = -1 + 4 = 3. точка д(-1; 4; 3). находим стороны параллелограмма.                               х      у      z           модуль    вектор ав      -2      2      -6      √(4+4+36) =  √44 =  2√11  ≈  6,63325,     вектор ад    -5      9        1      √(25+81+1) =√107  ≈    10,34408 .определяем косинус угла ав∧ад: cos (ав∧ад) = )*(-5)+2*9+(-6)*1)/(√44*√107) = (10+18-6)/(√4708) =                       = 22/(2√1177) =  0,32063. угол ав_ад, cк а*в = 22  , мод а. в = 68,614867, cos a_b = 0,3206302,угол a_b = 1,2444016    радиан, угол a_b = 71,298958 градусов. координаты точки s, симметричной точке д относительно начала координат, имеют значения координат точки д с обратным знаком.точка д(-1; 4; 3). точка s(1; -4; -3). объем пирамиды равен:   (ab{x1, y1, z1} ;   ac{x2, y2, z2} ;   as{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3. произведение векторов a  ×  b  = {aybz  -  azby;   azbx  -  axbz;   axby  -  aybx}.                   x        y      z ab*ac =  56    32    -8. вектор аs={xs-xa, ys-ya, zs-za}    -3      1      -5. объем пирамиды равен:   v = (1/6)*|(56*(-3)+32*1+(-8)*(-5) = (1/6)*|(-168+32+40)|. v = (1/6) * 96  =  16 куб.ед.

Дробь  равна  0,  если  числитель  равен  0,  а  знаменатель  нет. к  промежутку  (-π;   π)  принадлежат решения: x1  =  -3π/4; x2 = π/4