Впараллелограмме abcd af - биссектриса угла bad,df -биссектриса угла adc,ab = 8см . найдите периметр параллелограмма .

1. в параллелограмме efkp через точку о пересечения диагоналей проведен отрезок mn, пересекающий стороны ep и fk. вычислите стороны параллелограмма, если периметр его равен 28см, fn =3см, ем=5см. 2. в равнобедренной трапеции основания равны 3см и 7см, тупой угол равен 135°. чему равна длина высоты? самостоятельная работа по теме «параллелограмм, трапеция» вариант 2. 1. в параллелограмме abcd af – биссектриса угла bad, df – биссектриса угла adс, ab=8см. найдите периметр параллелограмма. 2. в равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит основание на отрезки, равные 5см и 25см. найдите длины оснований трапеции. самостоятельная работа по теме «параллелограмм, трапеция»  вариант 3. в равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. периметр этого прямоугольника равен 25см. найдите катет треугольника. 2. найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12см и 6см, а один из углов равен 60°. самостоятельная работа по теме «параллелограмм, трапеция»  вариант 4. 1. в равностороннем треугольнике со стороной 6см проведен отрезок, соединяющий середины двух сторон. определите вид получившегося при этом четырехугольника и найдите его периметр. 2. в равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол, равный 60°, пополам. большее основание трапеции 18см. найдите периметр трапеции. самостоятельная работа по теме «параллелограмм, трапеция»  вариант 5. один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. найдите все углы параллелограмма. диагонали прямоугольника abcd пересекаются в точке о. докажите, что треугольник aоd - равнобедренный. может ли высота трапеции равняться ее боковой стороне? самостоятельная работа по теме «параллелограмм, трапеция»  вариант 6. в параллелограмме abcd проведена биссектриса угла bad , которая пересекает сторону вс в точке р. а) докажите, что треугольник авр равнобедренный. б) найдите сторону ad, если вр=10см, а периметр параллелограмма равен 52см. 2. диагонали ромба abcd пересекаются в точке о. найдите углы треугольника аов, если угол bcd равен 70°. 

ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Условия задачи:

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 14,2 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =7,1 см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 7,1 см ,  гипотенуза АВ = 14,2 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 14,2 = 7,1 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 7/14 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °