Найдите все двузначные числа каждая натуральная степень которых оканчивается на 2 цифры составляющие первоначальное число с решением

обозначим искомые числа через 10a+b. тогда при возведении в квадрат по  требованию   должны выполняться условия: b^2 должно быть числом, оканчивающимся на цифру b. таких цифр четыре: 0, 1, 5 и 6. пусть наше число оканчивается на 0. тогда 2*a*b должно быть числом, оканчивающимся на a, но это невозможно, поскольку b=0. пусть искомое число оканчивается на 1. тогда 2*a*b должно быть числом, оканчивающимся на a, но это также невозможно, поскольку число 2*a может оканчиваться на цифру a только при a=0, но  a - первая цифра в нашем числе и a ≠ 0. пусть теперь   наше число оканчивается на 5. тогда должно выполняться условие: число 2*a*b+2 должно оканчиваться на  a. этому условию удовлетворяют  a=2, b=5. т. о. 25^2 = 625 оканчивается на 25. поскольку последние две цифры в числе  будут оставаться 2 и 5, то при возведении в любую натуральную степень соответствующие числа будут оканчиваться на 25. поэтому  число 25 нам подходит. пусть искомое число оканчивается на 6. тогда должно соблюдаться 2*a*b+3  должно оканчиваться на  a. т. к. b=6,  то  a*12+3 оканчивается на a. отсюда находим, что a=7. т. о. получаем второе число, которое также при возведении в любую натуральную степень будет оканчиваться на  76. это единственные два двузначных числа, удовлетворяющие требованиям. 

ответ: 25 и 76.

(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 = 100x + 10a + b b^2 mod 10 = b 2ab mod 10 + b^2 div 10 = a 1. b^2 mod 10 = b -> b = 0, 1, 5 2. a = 2ab mod 10 + b^2 div 10 b = 0 -> a = 0 + 0 = 0 b = 1 -> a = 2a mod 10 + 0 -> a = 0 b = 5 -> a = 10a mod 10 + 2 = 2 --> единственное решение: 25

=( х^2 - у^2 ) + ( х + у ) = ( х - у )( х + у ) - ( х + у ) = ( х + у )( х - у - 1 )