Даны координаты точек a(1; 3), в(4; 1),с(3; -2) нужно найти угол между медианой ад и высотой ае.

Найдем координаты точки d (медианы стороны вс): xd=(3+4)/2=3,5. yd=(1-2)/2=-0,5. d(3,5; -0,5). вектор ad{xd-xa; yd-ya} или ad{2,5; -3,5}. модуль вектора |ad|=√(6,25+12,25)=√18,5. уравнение прямой вс: (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-yb) или (x-4)/(-1)=(y-1)/(-3) - каноническое уравнение. уравнение прямой вс в общем виде ax+by+c=0: 3х-y-11=0, где а=3, в=-1, с=-11. вектор нормали прямой - это перпендикуляр к прямой. координаты вектора нормали из уравнения прямой вс: n={а; в}={3; -1}. этот же вектор - направляющий вектор для прямой ае. формула для уравнения прямой, проходящей через точку а(1; 3) и имеющей направляющий вектор р{3; -1}, то есть уравнение прямой ае: (x-1)/3=(y-3)/-1 - каноническое уравнение. х+3y-10=0 - общее уравнение прямой ае. найдем точку пересечения прямых ае и вс: система двух уравнений: 3х-y-11=0 и х+3y-10=0. решаем систему и имееи: х=4,3 и y=1,9/ то есть точка е(4,3; 1,9). тогда вектор ае{3,3; -1,1}. модуль вектора |ae|=√(10,89+1,21)=√12,1. угол между векторами ad и ве: cosα=(xad*xae+yad*yae)/(√18,5*√12,1)≈ 12,1/14,96 ≈ 0,809. ответ: угол между векторами равен arccos(0,809. или α≈36°. рисунок, иллюстртрующий решение , дан в приложении.

Task/25922591 1.определяем координаты точки   d (середина отрезка cb) : x(d) = (  x(c) +x(b) ) /2 =(3+4) /2 = 3,5 ; y(d) = (  y(c) +y(b) ) /2 =(-2 +1) /2 = - 1,5. d(3,5 ; -  0,5) . 2.  уравнение прямой cb  : * * * y -y₁=k(x -x₁) , k =(y₂ -y₁) / (x₂ -x₁) _ угловой коэффициент      * * *   k =  (1  ))/ (4 -3) =3/1 =3 у - (-2) = 3(x -3)  ⇔ y = 3x  -11.   * * *   3x  -  y  -11 =0  ⇔ (3x  -  y  -11) /√(3²  +  (-1)² )=0  ⇔(3x  -  y  -11) /√10=0  ⇔ (3/√10)*x  -(1/√10) *y -11/√10 =  0→нормальное   уравнение прямой ;   здесьможно вычислить расстояние от точки   a(1 ; 3)   до прямой св ,   т.е. высоту  ae(модуль вектора  ae) :   ae = |3*1 -3 -11| /√10 =11  /√10 =1,1√10 . * * *  3   ₋ .     уравнение прямой ae    : ae  ⊥    cb  ⇒   k₁*k = -1 ,      k₁  = -1/3 (  угловой коэффициент   прямой   ae) y -3 = -1/3(x-1)  ⇔   y = (-1/3)x  +10/3  .4   ₋ .  определяем координаты точки e( основание высоты ) _пересечение двух прямых  : { y =3x -11 ;                 { x =4,3  { y = (-1/3)x +10/3       { y =1, 9                     e( 4,3 ; 1,9) 5 .     если   не проходили скалярное произведение векторов,  то  из   δaed : cos φ = ae   /  ad   =√ (  (4,3,-1)² +(1,9 -3)² )  /  √ (  (3,5,-1)² +(-0,5  -3)²) =(1,1√10 ) /  √ 18,5 = 1,1*√10*√10/√ 18,5 *√10 = 11/ √185.  φ =arccos( 11/ √185)  ≈  arccos(  0,809).       ответ:   φ =arccos( 11/ √185)   * *  *   по таблице косинусов   ↔φ =36°  * * *  

1000 000 000 метров= 1000000 км. 1000 000 000 грамм=1000 тонн