1. исследовать функцию y=f(x) 2.построить график функции y=f(x) y=x^3-3x^2+2x+1

1.область определения функции:   х  ∈ r.

2. нули функции. точки пересечения графика функции с осью ох.

график функции пересекает ось x при f = 0значит надо решить уравнение: 2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0.решение этого кубического уравнения даёт один действительный корень х = -0,32472.

3. промежутки знакопостоянства функции:  

y < 0, x  ∈ (-∞; -0,32472),

y > 0, x  ∈ (-0.32472; +∞).

4. симметрия графика (чётность или нечётность функции).

проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).итак, проверяем: 2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1.    - нет2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - - 2 x - 1.    - нетзначит, функция  не является  ни чётной, ни нечётной.

5. периодичность графика - нет периодичности.

6.точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты.

так как функция не содержит дробей и корней, то точек разрыва нет.

7. интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

производная функции y' = 3x² -6x + 2.

корни уравнения 3x² -6x + 2 = 0 равны 1 +- (√3/3).

максимум функции равен 1 + (2/(3√3)) при х = 1 - (√3/3),

минимум равен 1 - (2/(3√3)) при х = 1 + (√3/3).

8. интервалы выпуклости, точки перегиба.

вторая производная равна: y'' =    6х - 6 = 6(x - 1).

поэтому точка перегиба одна: х = 1, у = 1.

9. поведение функции в бесконечности. наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.

наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, делённой на x при x-> +oo и x -> -oo\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.предел равен  ∞,  значит,  наклонной асимптоты слева не существует.\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.предел равен  ∞,  значит,  наклонной асимптоты справа не существует.

горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x-> +oo и x-> -oo

\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = -\infty.предел равен -∞.значит,  горизонтальной асимптоты слева не существует.\lim_{x \to \infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = \infty.предел равен  ∞, значит,  горизонтальной асимптоты справа не существует.

10. дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.

таблица точек:

x y-2.0    -23    -1.5 -12.1 -1.0 -5 -0.5 -0.9 0 1 0.5 1.4 1.0 1 1.5 0.6 2.0 1 2.5 2.9  3.0 7 3.5 14.1 4.0 25

11. построение графика функции по проведенному исследованию - дан в приложении.