Найдите корни многочлена p(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении p(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1

из условия:

где q(x) - неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.

(2х+1) - остаток. перенесем остаток влево:

значит х = -1  и  х = 4      являются корнями многочлена в левой части. подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:

решив полученную систему, имеем:

а = 12;   b = 9.

значит исходный многочлен имеет вид:   (сразу приравняем 0)

а многочлен q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)

и другой вид исходного многочлена:

(х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0

в этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.

устанавливаем первый из интервалов:   (2; 3).  методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).

устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).

устанавливаем третий интервал: (-1; 0). методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)

-0,8; 2,3; 3,8.

 

 

(  (  (  (а  -  b)^2  +  2ab)  ^2  -  2a^2b^2)^2  -  2a^4b^4)^2  -  a^16b^16 = ( ( ( (а^2 - 2ab +b^2) +  2ab)  ^2  -  2a^2b^2)^2  -  2a^4b^4)^2  -  a^16b^16 =  (  (  (a^2  +  b^2)^2  -  2a^2b^2)^2  -  2a^4b^4)^2  -  a^16b^16 =  ( (a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2b^2)^2  -  2a^4b^4)^2  -  a^16b^16 = (a^8 + 2a^4b^4 +b^8 -  2a^4b^4)^2  -  a^16b^16 = (a^8 + b^8 +a^8b^8)(a^8 + b^8 - a^8b^8)