Даны четыре точки a1(x1,y1,z1), a2(x2,y2,z2) a3(x3,y3,z3), a4(x4,y4,z4).составить уравнения: а)плоскости а1 а2 а3; б)прямой а1 а2; в)прямой а4м перпендикулярной к плоскости а1 а2 а3; г)прямой а3 n параллельной прямой а1 а2 д)плоскости проходящей через точку а4 перпендикулярно к прямой а1 а2 а1(6,8,2), а2(5,4,7), а3(2,4,7), а4(7,3,7)

Даны координаты пирамиды: a1(6,8,2), a2(5,4,7), a3(2,4,7), a4(7,3,7).1)  координаты векторов. координаты векторов находим по формуле: x = xj  - xi; y = yj  - yi; z = zj  - ziздесь x,y,z координаты вектора; xi, yi, zi  - координаты точки аi; xj, yj, zj  - координаты точки аj; например, для вектора a1a2x = x2  - x1; y = y2  - y1; z = z2  - z1 x = 5-6; y = 4-8; z = 7-2a1a2(-1; -4; 5)a1a3(-4; -4; 5)a1a4(1; -5; 5)a2a3(-3; 0; 0)a2a4(2; -1; 0)a3a4(5; -1; 0)2) модули векторов  (длина ребер пирамиды) длина вектора a(x; y; z) выражается через его координаты формулой: a =  √(x² + y² + z²). нахождение длин ребер и координат векторов. вектор а1a2={xb-xa, yb-ya, zb-za}      -1 -4  5            l = 6,480740698. вектор a2a3={xc-xb, yc-yb, zc-zb}      -3  0  0        l =3. вектор а1a3={xc-xa, yc-ya, zc-za}      -4 -4  5          l = 7,549834435. вектор а1a4={xd-xa, yd-ya, zd-za}        1 -5  5        l =7,141428429. вектор a2a4={xd-xb, yd-yb, zd-zb}        2 -1  0        l = 2,236067977. вектор a3a4={xd-xc, yd-yc, zd-zc}        5 -1  0        l = 5,099019514.   3) уравнение прямой прямая, проходящая через точки a1(x1; y1; z1) и a2(x2; y2; z2), представляется уравнениями: параметрическое уравнение прямой: x=x₀ +lt y=y₀ +mt z=z₀ +ntуравнение прямой a1a2(-1,-4,5) параметрическое уравнение прямой: x=6-t y=8-4t z=2+5t.4) уравнение плоскости  а1а2а3.

x-6    y-8    z-2

-1        -4      5-4        -4      5    = 0 (x-)*)*5) - (y-)*)*5) + (z-)*(-)*(-4)) = = - 15y - 12z + 144 = 0 выражение: - 5y - 4z + 48 = 0.5) уравнение  прямой а4м, перпендикулярной к плоскости а1а2а3, - это высота из точки а4 на основание пирамиды.прямая, проходящая через точку m₀(x₀; y₀; z₀ ) и перпендикулярная плоскости ax + by + cz + d = 0 имеет направляющий вектор (a; b; c).  уравнение плоскости a1a2a3: - 5y - 4z + 48 = 0.уравнение а4м:   6)  уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору   a1a2. уравнение плоскости, проходящей через точку m₀(x₀, y₀, z₀ ) перпендикулярно вектору n = (l,m,n), имеет вид: l(x- x₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀ ) = 0координаты точки a4(7; 3; 7)координаты вектора a1a2(-1; -4; 5) -1(x - 7) + (-4)(y - 3) + 5(z - 7) = 0 искомое уравнение плоскости: -x - 4y + 5z-16 = 0.7) уравнение  прямой а3n, параллельной прямой а1а2.

необходимая для решения точка а3(2; 4; 7) задана по условию, а направляющий вектор для искомой прямой возьмём тот же, что для прямой а1а2, так как они параллельны:   n=(-1; -4; 5). 

ответ:

Находим длину биссектрисы по формуле через катеты l =  √2*(a*b)/ (a+b) со= (√2*вс*ас)/(вс+ас) со=(√2*6*4)/(6+4)=(24√2)/10=2,4√2 теперь находим площадь каждого треугольника через две известные  стороны и углу между ними s    =    1/2  *  ab *  sinαs всо=1/2 * 6 *  2,4√2 *  sin45 s= 3 * 2,4√2 * 1/√2 s вос= 7,2 м² s аос = 1/2 * 4 *  2,4√2 *  sin45 s аос = 2 * 2,4 = 4,8 м²