Найдите значение выражения: 2^16 - 2^15 - 2^14 - - 2^2 - 2^1 - 1

Начнем с главного. Сложим коэффициенты у одинаковых степеней

4x^4+8x^2-12x=0

Сразу заметим, что в выражении можно вынести множитель 4x

4x(x^3+2x-3)=0

Уже видно, что одно из решений x=0

Теперь надо решить есть ли у уравнения x^3 +2x - 3 = 0 корни

Попробуем разложить уравнение на множители.

Посмотрим на все делители свободного члена 1 и 3.

Подставим 1:

1^3 + 2*1 - 3 = 0

1 это корень уравнения x^3 + 2x - 3 =0

Произведем дальнейшее разложение

Так как корень 1, то выражение должно принять вид (x-1) * (ax^2 + bx + c) = x^3 + 2x - 3

Получаем ax^3 - ax^2 + bx^2 - bx + cx - c

Система:

a = 1

b - a = 0

c - b = 2

- c = 3

Подставим известные в неизвестные

a = 1

b = 1

c = 3

Следовательно x^3 + 2x - 3 = (x-1) * (x^2 + x + 3)

Полностью уравнение выглядит так

4x * (x-1) * (x^2 + x + 3) = 0

На данный момент известны корни 0 и 1.

Остается првоерить

x^2 + x + 3 = 0

D = b^2 - 4ac = 1 - 3 = -2

У уравнения нет корней

ответ: x = 0 и 1.

_________________________________________________

В условии оказалась опечатка.

Новое уравнение выглядит так

4x^4+12x^3-4x^2-12x=0

Тут все Выносим 4x

4x(x^3 + 3x^2 - x -3) =0

Вынесем минус за скобки, чтобы лучше разглядеть второй множитель

4x(x^3 + 3x^2 - (x + 3)) = 0

4x((x+3)(x^2) - (x + 3)) = 0

Второй множитель очевидно x+3

4x(x+3)(x^2 - 1) = 0

x^2 - 1 по формуле разности квадратов это (x+1)(x-1)

В итоге

4x(x+3)(x-1)(x+1)=0

В итоге корни: 0, -3, 1, -1