.(Сколько решений имеет система уравнений x^2+y^2+xy=a x^2-y^2=кор. куб. из (a) где, а – произвольное вещественное число.).

долго думал)

итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу.

следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4.

требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид.

воспользуемся стандартным алгоритмом уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=a

a11, a12, a22 - известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0.5.

угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy: tg(2*alpha)=2*a12/(a11-a22)

в знаменателе 0 => tg = бесконечность => 2*alpha=90, alpha = 45.

крутим ск на 45 градусов.

из аналитической известно, что выражения старых координат через новые:

x=x'*cos(alpha)-y'*sin(alpha)

y=x'*sin(alpha)+y'cos(alpha)

подставим в первое уравнение основной системы. получим

x'^2+y'^2 = 2a/3                это

во втором уравнении

y' = (-a^(1/3))/(2*x')    это гипербола.

теперь рассматриваем различные случаи значений а.

а=0 => одно решение (0; 0)

подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.

x'^4 - (2a/3)*x'^2+4*a^(2/3) = 0

исследуем его дискриминант.

(1/9)*a^4-a^(2/3) > = 0 , откуда a^(10/3) > =9 => a> = 9^(3/10)

ответ: a=0 один корень

    а = 9^(3/10) два корня

  a > 9^ (3/10) четыре корня!