Четырехугольных пирог разрезали по диагоналям на 4 куска. вес трех последовательных треугольных кусков 120,200,300 гр. найдите вес четвертого куска.

даны точки a(2; 1; 8),b(-1; 3; 4) и с(3; 0; 12).

находим уравнение плоскости через эти точки.

для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xa y - ya z - za

xb - xa yb - ya zb - za

xc - xa yc - ya zc - za

  = 0

подставим данные и выражение:

x - 2 y - 1 z - 8

(-1) - 2 3 - 1 4 - 8

3 - 2 0 - 1 12 - 8

  = 0

x - 2   y - 1         z - 8

-3             2           -4

1       -1           4

  = 0

x - 2   2·)·(-1)   -   y - 1   (-3)·)·1   +   z - 8   (-3)·(-1)-2·1   = 0

4 x - 2   + 8 y - 1   + 1 z - 8   = 0

4x + 8y + z - 24 = 0.

переведём это уравнение в уравнение в "отрезках".

(x/(24/4)) + (y/(24/8) + (z/24) = 1.

(x/6) + (y/3) + (z/24) = 1.

получили вершины тетраэдра:

а(6; 0; 0), в(0; 0; 0), с(0; 3; 0) и д(0; 0; 24).

находим длины перпендикуляров из начала координат (точка в) к отрезкам ас, ад и сд.

ас = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5.

вк = (3*6)/(3√5) = 6/√5.

ад = √6² + 24²) = √(36 + 576) = √612 = 6√17.

вм = (6*24)/(6√17) = 24/√17.

сд = √(3² + 24²) = √(9 + 576) = √585 = 3√65.

ве = (3*24)/(3√65) = 24/√65.

находим наклонные отрезки дк, см и ае.

дк = √(24² + вк²) = √(576 + (36/5)) = √(2916/5).

см = √(3² + вм²) = √(9 + (576/17)) = √(729/17).

ае = √(6² + ве²) = √(36 + (576/65)) = √(2916/65).

теперь можно определить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра,образованного плоскостями координат и плоскостью,проходящей через точки a(2; 1; 8),b(-1; 3; 4) и с(3; 0; 12) .

косинус угла дкв (наклона плоскости авс к координатной плоскости хоу) равен: cos(дкв) = вк/кд = (6/√5)/(√(2916/5)) = 6/√2916 = 1/9.

косинус угла смв (наклона плоскости авс к координатной плоскости хоz) равен: cos(смв) = вм/см = (24/√17)/(√(729/17)) = 6/√2916 = 8/9.

косинус угла веа (наклона плоскости авс к координатной плоскости уоz) равен: cos(веа) = ве/ае = (24/√65)/(√(2916/5)) = 24/√2916 = 4/9.