Вправильном тетраэдре abcd (все грани одинаковой длины ) точка е - середина ребра cd. найдите косинус угла между прямыми bc и ae.

Примем систему координат для тетраэдра:   - основание авс, вершина д, её проекция на основание - точка о,             проекция на основание точки е - точка е1.   - ребро ас - по оси оу,   - вершина а - в начале координат.   - длина ребра - 1. теперь определим координаты точек. высота тетраэдра н =  √(1² - ((2/3)*(1*√3/2))²) =  √(1-(1/3)) =  √(2/3). точка е имеет высоту в 2 раза меньше - (1/2)*(√(2/ высота основания h = 1*cos 30° =  √3/2. в((√3/2); 0,5; 0), с(0; 1; 0). вектор √3/2); 0,5; 0). а(0; 0; 0), расстояние точки о от оси оу равно (1/3)h =  √3/6.   а точки е1 - в 2 раза меньше -  √3/12. е(√3/12; 0,75; (√(2/3))/2). вектор ае(√3/12; 0,75; (√(2/3))/2). косинус угла между векторами равен дроби, в числителе которой скалярное произведение векторов, в знаменателе - произведение их модулей.

найдем  скалярное произведение векторов:

a  *  b  =  ax  *  bx  +  ay  *  by  +  az  *  bz  =  (-0.86603)  *  0.144338  +  0.5  *  0.75  +  0  *0,408248 = -0,125+0,375+0 = 0,25 = 1/4. |a|  =  √(ax²   +  ay²   +  az2)  =  √.86603)²  +  (0.5)²  +  0²)  =  √(0.7500079609  +  0.25  +  0)  =  √1.00000  = 1. |b|  =  √(bx²   +  by²   +  bz²)  =  √(0.144338)²  +  (0.75)²  +  (0.408248)²  =    =  √0.020833458244  +  0.5625  +  0.166666429504  =  √0.75  =  √3/2.

найдем  угол между векторами:

cos α  = (a  *  b)/(|a|*|b|). cos  α  = (1/4)/(1*(√3/2) = 1/(2√3)  = √3/6 ≈ 0,2886728. 

Первая часть решена верно вплоть до знака -30х< -108 х> 3,6