А,в и с попарно взаимно простые натуральные числа. найти все возможные значения (а+в)*(а+с)*(в+с)/(а*в*с), если известно, что это число целое . буду признателен, если найдет еще тройку чисел, кроме 1,2,3.

Натуральные числа взаимно простые, если они не имеют никаких общих делителей, кроме 1. обозначим n=(a+b)*(a+c)*(b+c)/(a*b*c), по условию это целое число. перепишем (a+b)*(a+c)*(b+c) = n*a*b*c если среди натуральных чисел а, в, с есть одинаковые, то можно принять, что а=в (нет никакой разницы, какую пару чисел считать равной). но тогда наибольший общий делитель чисел а и в равен числу а, и равен 1. т.е. а=в=1. подставив эти значения в выражение (a+b)*(a+c)*(b+c) = n*a*b*c, получим: 2*(с+1)*(с+1) = n*c. отсюда следует, что 2 делится на с; и следовательно, с=1 или с=2. таким образом, имеем две тройки чисел: а=1, в=1, с=1 и а=1, в=1, с=2 теперь рассматриваем случай, когда числа а, в и с попарно различны. для однозначности будем считать, что а < b < c. если два числа взаимно простые, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому из нашего выражения (a+b)*(a+c)*(b+c)=n*a*b*c следует, что а+в=m*с и а+с=к*в, где м и к - натуральные числа. т.к. а+b < 2*c (см. выше, где мы приняли, что а < b < c), то м*с < 2*c, или m < 2, т.е. м=1, и следовательно, а+в=м*с=1*с=с. выразим с из а+с=к*в и подставим в а+в=с: с=к*в-а а+в = к*в - а, откуда 2*а = (к-1)*в т.к. а и в взаимно простые, то 2 делится на в. учитывая, что 1 ≤ a < b, получаем, что b> 1 и, значит, в=2. тогда а=1 и с=3. итак, ещё одна тройка чисел а=1, в=2, с=3 итого три тройки чисел: 1,1,1 1,1,2 1,2,3

ответ:

пошаговое объяснение:

1) 1/4 + 5/6=6/24+20/24=26/24=1 1/12

2) 3/20+7/25 =15/100+28/100=43/100

3) 2/9+1/6 =4/18+3/18=7/18

4) 5/6-3/8 =20/24-9/24=11/24

5) 9/10-3/4 =18/20-15/20=3/20

6) 3/10-2/15=9/30-4/30=5/30=1/6