Найдите все а при которых уравнение cos2x+2cosx=a+1 имеет только один корень на промежутке [-п/3; п]

Для начала преобразуем уравнение c формулы косинуса двойного угла: вводим замену помним, что t - это не просто переменная , а косинус, который пробегает лишь отрезок [-1,1], то есть                                                                                               чтобы найти необходимые границы для косинуса, рассмотрим рисунок. красным  обозначен интересующий отрезок.  когда же на данном отрезке будет только один корень? ну, граничные случаи видны сразу. это и . эти прямые проводим через данные точки, они выделены синим и красным. почему это граничные точки? пусть t заключено между этими прямыми. если t = -1, то, как видно, всего одна точка общая с прямой t=-1 и окружностью(напомню, что прямая вида t = a - задаёт значение а косинуса угла на окружности). тем более, если такие прямые лежат между синей и красной(эта область заштрихована синим). здесь показана одна из таких прямых(зелёная). как видим, она имеет с данным отрезком только одну точку пересечения, что нам и нужно. а вот прямая    нам не подходит. в этой точке прямая пересекает наш отрезок дважды(в верхней полуокружности и в нижней). значит, заведомо будет две серии решений, в каждой из которых по корню будут содержаться на этом отрезке(а нам нужен только один корень на отрезке). соответственно, в правой области(она заштрихована красным), тем более это не выполняется.  помимо этого можно увидеть, что прямая t = 1 тоже нам подходит(ровно одна точка пересечения с окружностью). то есть, нам подходят только такие t, что и . рассмотрим теперь квадратное уравнение. для начала стоит рассмотреть "изолированные" точки    . 1)пусть      . подставляя в квадратное уравнение, найдём отсюда соответствующее а:                                                                     проверка:                 первый корень явно лишний(косинус не может достигать -2). то есть, видим, у нас есть лишь уравнение , устраивающее нас(его серия решений содержит единственный корень на отрезке) - a = 2 условию удовлетворяет. 2)                 проверяем:         или   здесь уже к корню t = -1 добавился корень t = 0. уравнение вновь имеет единственный корень на нашем отрезке(видно на круге). то есть, каждое t дало по одному корню на отрезке, в сумме - два корня для исходного уравнения.    a = -2 нам абсолютно не подходит. 3)пусть теперь . здесь надо быть поаккуратнее, поскольку необходимо отслеживать число корней квадратного уравнения и промежутки, в которых они находятся. количество корней зависит от дискриминанта. найдём его.               а)если , то корней квадратное уравнение не имеет - на нет и суда нет.             б)если , то уравнение имеет один корень. найдём его.                                               подсталвяем параметр в наше квадратное уравнение:                   - такое значение t вписывается в наш промежуток для t, поэтому условию удовлетворяет.                           в) самый сложный случай. уравнение имеет два корня. как же тогда получить в точности один корень на нужном отрезке? ответ прост: один корень должен вписываться в промежуток для t(там гарантированно будет одно решение на отрезке), а второй - не принадлежать ему(тогда гарантированно второй корень t не даст прибавку в подходящих x). смотрите второй рисунок: либо меньший корень не принадлежит отрезку, либо больший. записываем для данной ситуации необходимые и достаточные условия.   или замечу, что при этом условие d > 0 уже не требуется: оно выполнено автоматически(если выполняются указанные системы, то это "опускает" параболу ниже оси ox, поэтому уравнение автоматически имеет два корня, а, стало быть, и d > 0).   находим теперь значения параболы в указанных точках.                               решаем первую систему:                                             ∈ вторая система решений не имеет. добавляя к этому интервалу ещё точки и (не вошедшие сюда), записываем ответ:  ∈ ,

9/10 > 7/10
1 > 11/15
2/9 > 1/10
1 < 9/8